Tag Archives: 高斯─約當法

本文的閱讀等級：初級 令 為一個 階矩陣。若所有的 滿足 ，則 稱為上三角矩陣；若所有的 滿足 ，則 稱為下三角矩陣。上三角矩陣的逆矩陣仍為上三角矩陣 (見“三角矩陣的逆矩陣”)。因為 ，下三角矩陣的逆矩陣也是下三角矩陣。在不失一般性的原則下，以下討論限定於下三角矩陣。若下三角矩陣 是可逆的，則 的主對角元必不為零，且 ，。少數的下三角矩陣的逆矩陣無須計算即可求得。如果所有的主對角元為 且僅有一行不為零，稱為原子下三角矩陣，逆矩陣可由反轉非主對角元的正負號得到，例如， 。 本文介紹一些具有特殊圖案的下三角矩陣的逆矩陣。以下設 和 為下三角矩陣。所有的例子表示為 ，並給出 的推導證明。因為 是下三角矩陣，故僅須證明對於 ，，其中 為 Kronecker 記號： 若 ； 若 。

本文的閱讀等級：初級 在解線性方程組的應用上，高斯─約當法[1] (Gauss-Jordan method) 是高斯消去法的延伸 (見“高斯消去法”)，其目的要得到最簡約的列等價方程組。高斯消去法產生梯形矩陣後，我們可以繼續執行取代運算將軸元 (pivot) 上方的元悉數消去，並使用伸縮運算迫使軸元為 。高斯─約當法產生的矩陣稱為簡約列梯形式 (reduced row echelon form)，由下列四個條件定義 (前兩個條件即為梯形矩陣的性質)： 零列置於矩陣最底下。 每列軸元的位置都位於其上方各列軸元的右側。 軸元等於 。 軸元其上方與下方的元皆為零。 下面列舉兩個簡約列梯形式。數字 表示軸元，每一軸元上方和下方的元皆為零，其他各元 (以 表示) 可以是任意數： 。