Tag Archives: 高斯─約當法

高斯消去法與高斯─約當法的運算量

本文的閱讀等級:初級 高斯消去法 (Gaussian elimination) 是當今普遍用於解線性聯立方程組的演算法。高斯─約當法 (Gauss-Jordan method) 是高斯消去法的一種變形,主要應用於計算逆矩陣。關於這兩個算法的詳細介紹,請見“高斯消去法”和“高斯─約當法”,本文僅討論它們耗費的運算量。 Advertisements

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別再算逆矩陣了

本文的閱讀等級:初級 不知道從甚麼時候開始,“三階逆矩陣公式”經常雄踞本站「近期最多人點閱」表單的榜首,每日點閱該文的次數少則幾十,多則上百,下圖是過去一年以來的瀏覽次數統計 (主要的峰值所在的日期大致與台灣高等院校春秋二季期中和期末考試相吻合)。對於所見的逆矩陣風潮,我感到相當困惑:究竟出於甚麼樣的動機眾多年輕讀者願意不辭勞苦求算 (三階) 逆矩陣?如果尋覓逆矩陣公式的行動單純源於人類天生想要探索未知世界的好奇心,那我沒甚麼意見。不過,倘若只因為要解線性方程而計算逆矩陣,我可就忍不住要奉勸諸位:「省點力氣,別再算逆矩陣了!」

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三角圖案矩陣的逆矩陣

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階矩陣。若所有的 滿足 ,則 稱為上三角矩陣;若所有的 滿足 ,則 稱為下三角矩陣。上三角矩陣的逆矩陣仍為上三角矩陣 (見“三角矩陣的逆矩陣”)。因為 ,下三角矩陣的逆矩陣也是下三角矩陣。在不失一般性的原則下,以下討論限定於下三角矩陣。若下三角矩陣 是可逆的,則 的主對角元必不為零,且 ,。少數的下三角矩陣的逆矩陣無須計算即可求得。如果所有的主對角元為 且僅有一行不為零,稱為原子下三角矩陣,逆矩陣可由反轉非主對角元的正負號得到,例如, 。 本文介紹一些具有特殊圖案的下三角矩陣的逆矩陣。以下設 和 為下三角矩陣。所有的例子表示為 ,並給出 的推導證明。因為 是下三角矩陣,故僅須證明對於 ,,其中 為 Kronecker 記號: 若 ; 若 。

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高斯─約當法

本文的閱讀等級:初級 在解線性方程組的應用上,高斯─約當法[1] (Gauss-Jordan method) 是高斯消去法的延伸 (見“高斯消去法”),其目的要得到最簡約的列等價方程組。高斯消去法產生梯形矩陣後,我們可以繼續執行取代運算將軸元 (pivot) 上方的元悉數消去,並使用伸縮運算迫使軸元為 。高斯─約當法產生的矩陣稱為簡約列梯形式 (reduced row echelon form),由下列四個條件定義 (前兩個條件即為梯形矩陣的性質): 零列置於矩陣最底下。 每列軸元的位置都位於其上方各列軸元的右側。 軸元等於 。 軸元其上方與下方的元皆為零。 下面列舉兩個簡約列梯形式。數字 表示軸元,每一軸元上方和下方的元皆為零,其他各元 (以 表示) 可以是任意數: 。

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三階逆矩陣公式

本文的閱讀等級:初級 給定 階矩陣 ,若存在一個同階矩陣 使得 ( 表示 階單位矩陣),則 稱為可逆 (invertible) 或非奇異 (nonsingular) 矩陣。在這個情況下, 由 唯一決定[1],稱為 的逆矩陣或反矩陣,記作 。可逆矩陣 的一個充要條件為 。若 階 是可逆的,則 ,逆矩陣公式如下: 。 你可能好奇 階可逆矩陣的逆矩陣公式是甚麼樣子?底下介紹三個逆矩陣算法: 高斯─約當法 (Gauss-Jordan method), 伴隨矩陣 (adjugate) 衍生的行列式表達式, Cayley-Hamilton 定理導出的矩陣多項式。 我們先用這些方法推導 階逆矩陣公式,隨後再推廣至 階矩陣。

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