Tag Archives: 齊次座標

答William──關於凸包的映射問題

網友William留言: 老師,您好!我不是您的學生,但是又有一個問題苦無解決辦法,因此想向老師尋求協助。問題是這樣的:群組A內有 ,,五個點。其中 ,,, 為一矩形的四個端點,而 位於矩形的範圍內或邊線上。群組B內有 ,,五個點。現在假設存在一張對應表: 查表後的值為 ,,求 查表後的值 ,並以 ,,和 ,,表示。我不知道這個問題是否適合由線性代數解決,也不曉得應該從那裡下手。懇請老師提供意見。謝謝。

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圓錐曲線

本文的閱讀等級:初級 任意二元二次方程式可表示為 , 其中 是實數且 不全為零 (否則二次方程退化為一次方程)。在卡氏座標系統中,二元二次方程的軌跡稱為圓錐曲線[1](conic section,也稱二次曲線)。本文介紹如何通過旋轉與平移,將任一圓錐曲線化簡至典型表達式。圓錐曲線共可區分為9種類別,根據典型表達式的推演結果,我們設計一組建立於行列式的判別式 (discriminant)。

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仿射獨立

本文的閱讀等級:初級 考慮 中三向量 。如果存在不全為零的組合權重 使得 , 我們稱向量集 線性相關 (否則稱為線性獨立),這時候其中一個向量可以表示為其他二向量的線性組合。若 的端點 (向量代表點座標) 位於同一直線上,則其中一向量為其他二向量的仿射組合 (見“仿射組合與仿射空間”)。設 , 其中 。將上式改寫為 , 可知 不僅線性相關,且組合權重之和等於零。這個結果引出下面的定義:對於 ,若存在不全為零的實數 使得 , 並滿足 ,我們稱向量集 仿射相關 (affine dependent),否則稱為仿射獨立 (affine independent)。以下討論限定於幾何向量空間 。

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答兩面光──關於3×3階與4×4階齊次轉換矩陣的差異

網友兩面光留言: 周老師您好,我目前正在研究Lagrange運動方程式,對於轉換矩陣有些疑問。由於之前看的資料座標轉換並沒有平移的問題,且矩陣皆是,經查詢平移的座標轉換後,找到了所謂的齊次轉換矩陣,為的矩陣,也看到其他以做轉換矩陣的例子(但並非以Lagrange推導運動方程式),但我在您“線性變換表示矩陣”(註:應為“仿射變換”)中也看到了的平移轉換矩陣,我想請問在座標轉換中,與的差別在哪?

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仿射變換

本文的閱讀等級:初級 設 為一 階實矩陣, 是 維實向量,定義於幾何向量空間 的仿射變換 (affine transformation) 具有下列形式: 也就是說,仿射變換由一線性變換加上一平移量構成。因為 ,除非平移量 為零,仿射變換不是線性變換。仿射變換有兩個相當特殊的性質:共線 (collinearity) 不變性和比例不變性,意思是 的任一直線經仿射變換的像 (image) 仍是一直線,而且直線上各點之間的距離比例維持不變。

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幾何變換矩陣的設計

本文的閱讀等級:初級 矩陣之所以成為研究線性變換的一個有效工具乃基於兩個事實:線性變換完全由基底的映射行為所決定,以及線性複合變換可表示為矩陣乘積 (見“線性代數的第一堂課──矩陣乘法的定義”)。本文運用這兩個性質來設計二維歐幾里得空間裡常用的一些幾何變換矩陣。

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