Tag Archives: Arnoldi 算法

Krylov 子空間法──線性方程的數值解法 (二):GMRES 與 FOM

本文的閱讀等級:高級 令 為一 階實矩陣。對於非零向量 , 稱為 Krylov 子空間。設 是次數最小的多項式使得 ,稱為 相對 的最小多項式。Krylov 子空間應用於線性方程的數值解法建立於下列基礎 (見“Krylov 子空間法──線性方程的數值解法 (一):Arnoldi 與 Lanczos 算法”): 令 。若 ,則 Krylov 序列 為一線性獨立集,就有 。若 ,則 。 當 ,Arnoldi 算法可求得 Krylov 子空間 的一組單範正交基底 (orthonormal basis) 。 Arnoldi 算法給出 Arnoldi … Continue reading

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Krylov 子空間法──線性方程的數值解法 (一):Arnoldi 與 Lanczos 算法

本文的閱讀等級:高級 令 為一 階複矩陣, 為一非零向量。向量序列 稱為 Krylov 序列,此序列所生成的子空間稱為 Krylov 子空間 (見“Krylov 子空間法”),記為 。 因為 是有限維空間 的一個子空間,當 不斷增大時,Krylov 序列 最終會是一個線性相關集。設 為最小的正整數使得 ,也就是說 為一個線性獨立集且 。因此,存在唯一數組 滿足 。 定義 次多項式 。 因為 ,我們稱 為 相對於 的最小 (消滅) 多項式 (minimal polynomial)。以下考慮 為可逆矩陣。我們可以斷定 ,否則有 ,即存在次數小於 … Continue reading

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