Tag Archives: Cauchy 不等式

矩陣跡數與特徵值和奇異值的關係

本文的閱讀等級:高級 令 為一個 階複矩陣。矩陣 的主對角元之和稱為跡數 (trace),記作 。 矩陣的跡數與特徵值存在一個簡單的關係 (見“特徵多項式蘊藏的訊息”): , 其中 是 的特徵值。因為種種緣故,多數的基礎線性代數課程就此打住,不再深入探究。引用電影《一代宗師》宮二小姐的話:「寧可一思進,莫在一思停。」現在我們繼續往前進。根據定義,直接計算矩陣乘法可得 本文通過計算 、 和 來探討矩陣跡數與特徵值和奇異值之間的不等關係。

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Schwarz 不等式

本文的閱讀等級:中級 Schwarz 不等式是一條應用廣泛的不等式,常見於線性代數的內積空間,數學分析的無窮級數,以及連續函數之積的積分。Schwarz 不等式給出內積空間中兩個向量的內積大小與各自長度之積的不等關係。若 與 為內積空間 的向量,Schwarz 不等式說: , 其中 代表 與 的內積。

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