Tag Archives: Cayley 變換

每週問題 April 20, 2015

證明 Cayley 變換將正交矩陣映至反對稱矩陣。 Let be a real orthogonal matrix and . Show that Cayley transformation is skew-symmetric. Advertisements

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每週問題 February 2, 2015

本週問題關於 Cayley 變換。 Let be a skew Hermitian matrix. Show that Cayley transformation is a unitary matrix.

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三維空間的旋轉矩陣

本文的閱讀等級:中級 在二維平面上,逆時針方向旋轉 徑度 (弧度,radian) 的旋轉矩陣為 (見“幾何變換矩陣的設計”) 。 不難驗證 的特徵值為 和 ,其中 ,並具有下面兩個基本性質: 旋轉矩陣 的兩個行向量 (column vector) 和 組成一個單範正交集 (orthonormal set),也就是說, 是一個實正交矩陣 (orthogonal matrix),滿足 ,故逆旋轉矩陣為 。 對於任一實正交矩陣 ,,即得 。若 ,則 稱為適當的 (proper) 正交矩陣。計算 ,旋轉矩陣 是適當的正交矩陣。若 ,則 稱為不適當的正交矩陣,例如鏡射矩陣 (見“旋轉與鏡射”) 。 本文討論常見於電腦圖學 (computer … Continue reading

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Cayley 變換

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階矩陣。若 可逆,英國數學家凱萊 (Arthur Cayley) 於1846年提出下列變換,稱為 Cayley 變換[1]: , 其中 與 是可交換矩陣 (證明見註解[2])。除非特別註明,以下考慮實矩陣。通過 Cayley 變換,反對稱矩陣 (anti-symmetric matrix) 或稱斜對稱矩陣 (skew-symmetric matrix) 與特殊的一類正交矩陣 (orthogonal matrix) 具有一對一的對應關係。

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