Tag Archives: Cayley-Hamilton 定理

每週問題 February 20, 2017

證明三階旋轉矩陣的一個跡數恆等式。 Let be a real orthogonal matrix and . Prove that . Advertisements

Posted in pow 特徵分析, 每週問題 | Tagged , , , | 1 Comment

Cayley-Hamilton 定理的一個錯誤「證明」

本文的閱讀等級:初級 在線性代數中,Cayley-Hamilton 定理可謂最令學者感到驚奇的定理之一:任一 階矩陣 的特徵多項式 消滅 ,即 , 是零矩陣。以 為例, 的特徵多項式為 Cayley-Hamilton 定理宣稱 。

Posted in 特徵分析, 線性代數專欄 | Tagged , | 2 Comments

二階方陣的平方根

本文的閱讀等級:中級 設 是一個 階矩陣。若同階矩陣 使得 ,我們稱 為 的一個平方根。對角化是矩陣平方根的標準算法。若 可對角化為 ,其中 是一個可逆矩陣, 的主對角元 為 的特徵值。若 是 的一個平方根,,則 是 的一個平方根。若 有兩兩相異的非零特徵值,則存在 個平方根 。但如果 有相重特徵值或 ,取決於 的 Jordan 典型形式, 可能不存在平方根,存在少於 或無窮多個平方根。特別的, 階矩陣的平方根公式相當簡單,原因在於其逆矩陣、特徵值與特徵向量都有容易處理的代數式。

Posted in 特徵分析, 線性代數專欄 | Tagged , | Leave a comment

每週問題 March 16, 2015

這是應用 Jordan 形式的證明問題,當然也有其他證法。 Prove that that is no matrix such that .

Posted in pow 典型形式, 每週問題 | Tagged , , | 4 Comments

每週問題 May 19, 2014

本週問題是利用 Cayley-Hamilton 定理推導 階逆矩陣公式。 Let be a nonsingular matrix. Show that .

Posted in pow 線性方程與矩陣代數, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

每週問題 March 17, 2014

這是運用 Hermitian 矩陣的正交對角化證明 Cayley-Hamilton 定理。 Let be an Hermitian matrix with eigenvalues , . Prove that .

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , | 2 Comments

每週問題 May 6, 2013

這是關於伴隨矩陣 的表達式問題。 Let be an matrix. (a) Show that can be expressed in the form , where ’s are matrices. (b) For the ’s defined in (a), show that , , are scalar matrices, i.e., for some scalar .

Posted in pow 行列式, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

答鄧勇──關於λ-矩陣的伴隨矩陣關係式

網友鄧勇留言: 老师:您好!如何证明λ-矩阵和其伴随矩阵的关系式 呢?我百思不得其解,是否这个关系式根本就不成立?我已经看了“伴随矩阵”,内容都懂。我疑惑的是您在“Cayley-Hamilton 定理的一个代数证明方法”一文中,设 后,矩阵 则不是数字矩阵了,那么后面证明中要用到的主要关系式 对非数字矩阵依然成立吗?如果不成立,那么后面就得不到定理证明;如果主要关系式是正确的,又应该如何证明呢?显然它的证明与数字矩阵的证明是不一样的,对于它的证明,我试了很多方法,仍然证不出来,烦请老师给指点迷津。谢谢!

Posted in 答讀者問, 行列式 | Tagged , , , , , | Leave a comment

可逆矩陣之左逆矩陣等同右逆矩陣的證明

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階矩陣。若存在一個 階矩陣 使得 且 ,我們稱 是可逆矩陣 (invertible matrix),並稱 為 的逆矩陣 (inverse,或稱反矩陣),記作 。以上是多數線性代數教科書採用的逆矩陣定義。為了使定義完備,滿足前述關係的 必定由 唯一決定。假設 有左逆矩陣 使得 ,且 有右逆矩陣 使得 ,運用矩陣代數不難證明左逆矩陣 等同右逆矩陣 ,如下: 。 傳統的逆矩陣定義聲明 的左逆矩陣和右逆矩陣同時存在,但既然可逆矩陣的左逆和右逆確係相同,那麼何不採行更簡明的定義方式?譬如,若存在一個 階矩陣 使得 , 即為 的逆矩陣。如果我們接受這個新定義,緊接著就應當證明:若 ,則 。不過,證明過程不得假設 的左逆矩陣存在,否則新定義便與傳統定義無異。下面介紹基於簡約列梯形式、矩陣秩、基底、線性變換和 Cayley-Hamilton 定理的不同證明方法。如果讀者知道其他證法,也歡迎補充添加。

Posted in 線性代數專欄, 向量空間 | Tagged , , , , , , | Leave a comment

三階逆矩陣公式

本文的閱讀等級:初級 給定 階矩陣 ,若存在一個同階矩陣 使得 ( 表示 階單位矩陣),則 稱為可逆 (invertible) 或非奇異 (nonsingular) 矩陣。在這個情況下, 由 唯一決定[1],稱為 的逆矩陣或反矩陣,記作 。可逆矩陣 的一個充要條件為 。若 階 是可逆的,則 ,逆矩陣公式如下: 。 你可能好奇 階可逆矩陣的逆矩陣公式是甚麼樣子?底下介紹三個逆矩陣算法: 高斯─約當法 (Gauss-Jordan method), 伴隨矩陣 (adjugate) 衍生的行列式表達式, Cayley-Hamilton 定理導出的矩陣多項式。 我們先用這些方法推導 階逆矩陣公式,隨後再推廣至 階矩陣。

Posted in 線性代數專欄, 行列式 | Tagged , , , , | Leave a comment