Tag Archives: Cayley-Hamilton 定理

每週問題 February 20, 2017

Posted on 02/20/2017 by ccjou

證明三階旋轉矩陣的一個跡數恆等式。 Let be a real orthogonal matrix and . Prove that .

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Cayley-Hamilton 定理的一個錯誤「證明」

Posted on 05/20/2016 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 在線性代數中，Cayley-Hamilton 定理可謂最令學者感到驚奇的定理之一：任一 階矩陣 的特徵多項式 消滅 ，即 ， 是零矩陣。以 為例， 的特徵多項式為 Cayley-Hamilton 定理宣稱 。

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二階方陣的平方根

Posted on 04/20/2016 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 設 是一個 階矩陣。若同階矩陣 使得 ，我們稱 為 的一個平方根。對角化是矩陣平方根的標準算法。若 可對角化為 ，其中 是一個可逆矩陣， 的主對角元 為 的特徵值。若 是 的一個平方根，，則 是 的一個平方根。若 有兩兩相異的非零特徵值，則存在 個平方根 。但如果 有相重特徵值或 ，取決於 的 Jordan 典型形式， 可能不存在平方根，存在少於 或無窮多個平方根。特別的， 階矩陣的平方根公式相當簡單，原因在於其逆矩陣、特徵值與特徵向量都有容易處理的代數式。

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每週問題 March 16, 2015

Posted on 03/16/2015 by ccjou

這是應用 Jordan 形式的證明問題，當然也有其他證法。 Prove that that is no matrix such that .

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每週問題 May 19, 2014

Posted on 05/19/2014 by ccjou

本週問題是利用 Cayley-Hamilton 定理推導 階逆矩陣公式。 Let be a nonsingular matrix. Show that .

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每週問題 March 17, 2014

Posted on 03/17/2014 by ccjou

這是運用 Hermitian 矩陣的正交對角化證明 Cayley-Hamilton 定理。 Let be an Hermitian matrix with eigenvalues , . Prove that .

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每週問題 May 6, 2013

Posted on 05/06/2013 by ccjou

這是關於伴隨矩陣 的表達式問題。 Let be an matrix. (a) Show that can be expressed in the form , where ’s are matrices. (b) For the ’s defined in (a), show that , , are scalar matrices, i.e., for some scalar .

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答鄧勇──關於λ-矩陣的伴隨矩陣關係式

Posted on 10/17/2012 by ccjou

網友鄧勇留言： 老师：您好！如何证明λ-矩阵和其伴随矩阵的关系式 呢？我百思不得其解，是否这个关系式根本就不成立？我已经看了“伴随矩阵”，内容都懂。我疑惑的是您在“Cayley-Hamilton 定理的一个代数证明方法”一文中，设 后，矩阵 则不是数字矩阵了，那么后面证明中要用到的主要关系式 对非数字矩阵依然成立吗？如果不成立，那么后面就得不到定理证明；如果主要关系式是正确的，又应该如何证明呢？显然它的证明与数字矩阵的证明是不一样的，对于它的证明，我试了很多方法，仍然证不出来，烦请老师给指点迷津。谢谢！

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可逆矩陣之左逆矩陣等同右逆矩陣的證明

Posted on 10/10/2012 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階矩陣。若存在一個 階矩陣 使得 且 ，我們稱 是可逆矩陣 (invertible matrix)，並稱 為 的逆矩陣 (inverse，或稱反矩陣)，記作 。以上是多數線性代數教科書採用的逆矩陣定義。為了使定義完備，滿足前述關係的 必定由 唯一決定。假設 有左逆矩陣 使得 ，且 有右逆矩陣 使得 ，運用矩陣代數不難證明左逆矩陣 等同右逆矩陣 ，如下： 。 傳統的逆矩陣定義聲明 的左逆矩陣和右逆矩陣同時存在，但既然可逆矩陣的左逆和右逆確係相同，那麼何不採行更簡明的定義方式？譬如，若存在一個 階矩陣 使得 ， 即為 的逆矩陣。如果我們接受這個新定義，緊接著就應當證明：若 ，則 。不過，證明過程不得假設 的左逆矩陣存在，否則新定義便與傳統定義無異。下面介紹基於簡約列梯形式、矩陣秩、基底、線性變換和 Cayley-Hamilton 定理的不同證明方法。如果讀者知道其他證法，也歡迎補充添加。

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三階逆矩陣公式

Posted on 10/04/2012 by ccjou

本文的閱讀等級：初級 給定 階矩陣 ，如果存在一個同階矩陣 使得 ( 表示 階單位矩陣)，則 稱為可逆 (invertible) 或非奇異 (nonsingular) 矩陣。在這個情況下， 由 唯一決定[1]，稱為 的逆矩陣或反矩陣，記作 。矩陣 存在逆矩陣的一個充要條件為其行列式不等於零，。若 階矩陣 是可逆的，則 (反之亦然)，逆矩陣公式如下： 。 你可能好奇 階可逆矩陣的逆矩陣公式為何？底下介紹三個逆矩陣算法： 高斯─約當法 (Gauss-Jordan method)， 伴隨矩陣 (adjugate) 衍生的行列式表達式， Cayley-Hamilton 定理導出的矩陣多項式。 我們先用這些方法推導 階逆矩陣公式，隨後再推廣至 階矩陣。

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