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不使用行列式的特徵值和特徵向量算法 (下)

本文的閱讀等級:高級 延續前文“不使用行列式的特徵值和特徵向量算法 (上)”和“不使用行列式的特徵值和特徵向量算法 (中)”,本文將討論以下三個與實際操作相關的問題:(1) 如何選擇「好種子」?(2) 如何快速檢查 是否為 的線性組合?(3) 特徵向量算法的基本原理是甚麼?不論特徵值的相重數為何,是否總能求得完整的特徵空間?往下閱讀前,請讀者先回顧前文。

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不使用行列式的特徵值和特徵向量算法 (中)

本文的閱讀等級:中級 給定一 階矩陣 ,若 維向量 使得 ,即 ,則 稱為特徵值, 是對應的特徵向量。因為 的零空間包含非零向量,可知 不可逆,所以 。根據此事實,我們定義 的特徵多項式為 ,特徵值 即是 的根。從課堂演習的角度來看,這個基於行列式的特徵值算法的最大缺點在於,當 增大時,自行列式表達 到標準式 往往需要耗費大量的計算 (這解釋了何以多數線性代數教科書僅見 或 階的數值例子)。因為這個緣故,我們將箭頭瞄準不使用行列式的特徵值和特徵向量算法。下面先檢視幾種無須計算即可獲取特徵多項式的特殊形態矩陣,然後設法推導從任意矩陣至特殊形態矩陣的相似變換。

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