Tag Archives: Frobenius 範數

最小平方法於圖形比對的應用

本文的閱讀等級:中級 大學理工科系教導學生的東西多屬那些可以用原則、定理、規則、案例講述的「法典知識」(coded knowledge)。欲提昇個人競爭力,我們還必須透過「同化」(assimilation) 將這些濃縮的法典知識轉變為「非法典知識」(non-coded knowledge)。所謂同化意指將新的概念或方法融入整合至已經存在的體系裡,常見的程序是先抽離出專業實務領域裡的元素與架構,再利用其他領域 (例如數學) 所發展出的概念和工具來解決原本的問題。下面我以一個圖形比對 (pattern matching) 問題為例解釋同化的操作過程。見下圖,左圖P和右圖Q分別由相同數量的界標點描述其形狀,假設已知兩組界標點之間的對應關係 (如紅色虛線所示),我們的問題是設計一個不受位移、旋轉、伸縮和輕度形變影響的圖形相似度測量方式。 Advertisements

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跡數的性質與應用

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階矩陣, 的跡數 (trace,或簡稱跡) 定義為主對角元之和,如下: 。 跡數 與行列式 都是方陣 的函數,但跡數不像行列式擁有豐富的數學性質與應用,因此通常只零星出現於基礎線性代數課本裡的練習問題中。本文介紹跡數的運算規則,並推導一些特殊矩陣的跡數性質以及跡數於矩陣內積運算的應用。

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SVD 於矩陣近似的應用

本文的閱讀等級:高級 在一些涉及資料壓縮、特徵抽取或雜音消除的分析應用中,我們常希望得到一個矩陣的最佳近似矩陣,並透過設定矩陣的秩來控制近似誤差,這個問題稱為矩陣近似。詳細的問題陳述如下:若 為一個 階實矩陣,求同尺寸矩陣 使最小化 ,並滿足 且 。奇異值分解 (singular value decomposition) 提供了最佳矩陣近似的答案,由於具備這個特性再加上優異的數值穩定性,奇異值分解已逐漸成為應用最廣泛的矩陣計算法之一。

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矩陣範數

本文的閱讀等級:中級 幾何向量 的大小表現於其長度 (原點至向量端點的歐氏距離),那麼矩陣 的大小應如何度量呢?矩陣的大小度量稱為矩陣範數 (norm),記為 。佈於相同數系 ( 或 ) 且尺寸相同的矩陣集合構成一個向量空間,因此最直接的度量方式是仿造向量長度來定義矩陣範數。令 階矩陣 的行向量 (column vector) 為 ,其中 。Frobenius 範數定義如下: 。 Frobenius 範數 也可以由下式算得: 。 直接展開計算可驗證上面二式相等: 。 另外,Frobenius 範數與 的奇異值有關。令 ,,,為 的奇異值,其中 。下式成立 (證明見“SVD 於矩陣近似的應用”): 。

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