Tag Archives: Givens 旋轉

Jacobi 特徵值算法

本文的閱讀等級:中級 給定一 階實矩陣 ,使用 Householder 變換可求得一正交矩陣 (orthogonal matrix) ,,使得 為三對角 (tridiagonal) 矩陣,其中 , (見“特殊矩陣 (19):Hessenberg 矩陣”)。此外,如果 是實對稱矩陣,利用旋轉矩陣可求出一正交矩陣 使得 為對角矩陣。因為 正交相似於 , 的主對角元即為 的特徵值。德國數學家雅可比 (Carl Gustav Jacob Jacobi) 於1846年公開這個對角化實對稱矩陣的計算方法,後人稱之為 Jacobi 特徵值算法。 Advertisements

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特殊矩陣 (19):Hessenberg 矩陣

本文的閱讀等級:中級 令 為一 階矩陣。若 , ,則 稱為上 Hessenberg 矩陣,也就是說, 的主對角下標元 (subdiagonal,即 ) 之下的所有元為零。若 的主對角上標元 (superdiagonal,即 ) 之上的所有元為零,則稱為下 Hessenberg 矩陣。此特殊矩陣因德國工程師黑森貝格 (Karl Adolf Hessenberg) 而得名。見下例, 是上 Hessenberg 矩陣, 是下 Hessenberg 矩陣, 同時是上、下 Hessenberg 矩陣,稱為三對角 (tridiagonal) 矩陣 (見“特殊矩陣 (11):三對角矩陣”): 。 明顯地,對稱 Hessenberg 矩陣必定是三對角矩陣。下 … Continue reading

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QR 分解的數值計算方法比較

本文的閱讀等級:中級 QR 分解是數值線性代數中具備多種用途的計算工具,主要應用於線性方程、最小平方法和特徵值問題。常見的 QR 分解的計算方法包括 Householder 變換、Givens 旋轉以及 Gram-Schmidt 正交法。本文先回顧 QR 分解的主要性質,介紹 QR 分解於計算最小平方解的應用,並討論上述三種算法的運算量與數值穩定性。

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Gram-Schmidt 正交化改良版

本文的閱讀等級:中級 設 為一個 階實矩陣,,QR 分解 滿足以下兩個條件: 是 階矩陣,其行向量 (column vector) 組成單範正交 (orthonormal) 向量集, 是 階上三角矩陣。Gram-Schmidt 正交化是最常見於一般線性代數教科書的 QR 分解演算法 (見“Gram-Schmidt 正交化與 QR 分解”),以下稱之為古典 (classical) Gram-Schmidt 正交化,簡稱 CGS。不幸的是,當數值計算引入捨入 (roundoff) 誤差時,CGS 最終產生的 矩陣的行向量正交性可能變的很糟,就此觀點而言,CGS 是數值不穩定的。本文介紹 CGS 的一個修改版本,稱為改良 (modified) Gram-Schmidt 正交化,簡稱 MGS[1,2]。

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Givens 旋轉於 QR 分解的應用

本文的閱讀等級:中級 給定 平面上的旋轉矩陣 , 向量 表示 在平面上逆時針旋轉 弧度。假設 ,考慮這個問題:如何旋轉向量 至正X軸方向?

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