Tag Archives: Givens 旋轉

Jacobi 特徵值算法

Posted on 09/17/2015 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 給定一個 階實矩陣 ，使用 Householder 變換可求得一個正交矩陣 (orthogonal matrix) ，，使得 為三對角 (tridiagonal) 矩陣，其中 ， (見“特殊矩陣 (19)：Hessenberg 矩陣”)。此外，如果 是實對稱矩陣，利用旋轉矩陣可求出一個正交矩陣 使得 為對角矩陣。因為 正交相似於 ， 的主對角元即為 的特徵值。德國數學家雅可比 (Carl Gustav Jacob Jacobi) 於1846年公開這個對角化實對稱矩陣的計算方法，後人稱之為 Jacobi 特徵值算法。

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特殊矩陣 (19)：Hessenberg 矩陣

Posted on 04/02/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 令 為一 階矩陣。若 ， ，則 稱為上 Hessenberg 矩陣，也就是說， 的主對角下標元 (subdiagonal，即 ) 之下的所有元為零。若 的主對角上標元 (superdiagonal，即 ) 之上的所有元為零，則稱為下 Hessenberg 矩陣。此特殊矩陣因德國工程師黑森貝格 (Karl Adolf Hessenberg) 而得名。見下例， 是上 Hessenberg 矩陣， 是下 Hessenberg 矩陣， 同時是上、下 Hessenberg 矩陣，稱為三對角 (tridiagonal) 矩陣 (見“特殊矩陣 (11)：三對角矩陣”)： 。 明顯地，對稱 Hessenberg 矩陣必定是三對角矩陣。下 … Continue reading →

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QR 分解的數值計算方法比較

Posted on 06/03/2011 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 QR 分解是數值線性代數中具備多種用途的計算工具，主要應用於線性方程、最小平方法和特徵值問題。常見的 QR 分解的計算方法包括 Householder 變換、Givens 旋轉以及 Gram-Schmidt 正交法。本文先回顧 QR 分解的主要性質，介紹 QR 分解於計算最小平方解的應用，並討論上述三種算法的運算量與數值穩定性。

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Gram-Schmidt 正交化改良版

Posted on 06/01/2011 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 設 為一個 階實矩陣，，QR 分解 滿足以下兩個條件： 是 階矩陣，其行向量 (column vector) 組成單範正交 (orthonormal) 向量集， 是 階上三角矩陣。Gram-Schmidt 正交化是最常見於一般線性代數教科書的 QR 分解演算法 (見“Gram-Schmidt 正交化與 QR 分解”)，以下稱之為古典 (classical) Gram-Schmidt 正交化，簡稱 CGS。不幸的是，當數值計算引入捨入 (roundoff) 誤差時，CGS 最終產生的 矩陣的行向量正交性可能變的很糟，就此觀點而言，CGS 是數值不穩定的。本文介紹 CGS 的一個修改版本，稱為改良 (modified) Gram-Schmidt 正交化，簡稱 MGS[1,2]。

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Givens 旋轉於 QR 分解的應用

Posted on 02/18/2010 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 給定 平面上的旋轉矩陣 ， 向量 表示 在平面上逆時針旋轉 弧度。假設 ，考慮這個問題：如何旋轉向量 至正X軸方向？

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