Tag Archives: Hadamard 不等式

阿達馬的最大行列式問題

本文的閱讀等級:中級 公元1893年,法國數學家阿達馬 (Jacques Hadamard) 提出下面的最大行列式問題:若 為一 階矩陣且 ,, 的最大值是多少?表面上,要找到解決這個約束最大化問題的切入點似乎相當困難。阿達馬想出了一個簡單的辦法:他先推導行列式 (絕對值) 的上界,接著求出滿足此上界的矩陣所具備的條件,最後設法尋找擁有該條件的矩陣。出乎意料的是,複矩陣問題比實矩陣問題容易解決得多。下面我們追隨阿達馬的腳步探索約束矩陣的最大行列式問題。

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利用分塊矩陣證明 Hadamard 不等式

本文的閱讀等級:高級 分塊矩陣是矩陣理論的一項基本操作技巧。本文介紹如何利用分塊矩陣來證明 Hadamard 不等式 (見“Hadamard不等式”),內容包含三部分:先探討正定分塊矩陣的充分必要條件,再說明正定分塊矩陣的行列式與主對角分塊的行列式關係,最後運用此關係證明 Hadamard 不等式。

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Hadamard 不等式

本文的閱讀等級:中級 匈牙利數理哲學家拉卡托斯 (Imre Lakatos, 1922-1974) 主張數學研習應以一種探索和發現的情境邏輯推展,稱為啟發法或助探論 (heuristic)。他強調非形式、準經驗的數學的發展並不是只靠逐步增加毋庸置疑的定理數目,而是靠以思辨與批評、證明與反駁之邏輯對最初猜想的持續不斷的改進 (見“線性代數的演繹主義”)。具體來說,啟發法常從簡單的特例展開,透過提出猜想,設立命題,證明或反駁,從而發現定理並建構理論。本文按照這個探索模式介紹矩陣理論中一個重要的不等式──Hadamard 不等式。

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