Tag Archives: Hermitian 矩陣

每週問題 March 6, 2017

證明 Hermitian 矩陣的秩與跡數不等式。 Let be an nonzero Hermitian matrix. Prove that . Advertisements

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , , | Leave a comment

每週問題 November 14, 2016

證明一個常見於多變量統計學的矩陣 是半正定。 Let and let be a complex matrix of rank . Show that the Hermitian matrix is positive semidefinite.

Posted in pow 內積空間, 每週問題 | Tagged , , , | Leave a comment

每週問題 November 7, 2016

若一個 Hermitian 矩陣的主對角元為其特徵值,則此矩陣是對角矩陣。 Let be an Hermitian matrix whose eigenvalues, including multiple appearances, are the diagonal elements , . Prove that is diagonal.

Posted in pow 行列式, 每週問題 | Tagged , | 3 Comments

每週問題 October 3, 2016

這是關於相合變換 (congruence transformation) 的問題。 Let and be Hermitian matrices. Suppose is invertible. Show that there exists a nonsingular matrix so that and are diagonal if and only if is diagonalizable and all its eigenvalues are real.

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

每週問題 December 22, 2014

這是 Hermitian 矩陣的一個充分條件證明問題 (事實上,這是一個充要條件)。 Let be an complex matrix. Show that if is real for every , then .

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

每週問題 December 15, 2014

這是實對稱矩陣的二次型極值問題。 Let be an Hermitian matrix. Let and be the smallest and largest eigenvalues of , respectively. For every unit vector , show that .

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

每週問題 October 6, 2014

本週問題是證明 Hermitian 正定矩陣的積必可對角化。 Let and be Hermitian matrices. Show that if or is positive definite, then is diagonalizable.

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

每週問題 March 31, 2014

這是證明半正定矩陣和 Hermitian 矩陣乘積的特徵值必為實數。 Let and be Hermitian matrices. Prove that following statements. (a) If or is positive semidefinite, then all the eigenvalues of are real. (b) If and are positive semidefinite, then all the eigenvalues of are nonnegative.

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , , | Leave a comment

每週問題 March 17, 2014

這是運用 Hermitian 矩陣的正交對角化證明 Cayley-Hamilton 定理。 Let be an Hermitian matrix with eigenvalues , . Prove that .

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , | 2 Comments

Hermitian 矩陣乘積的性質

本文的閱讀等級:高級 在線性代數理論與應用中,Hermitian 矩陣可謂最重要的一種特殊矩陣。若一 階矩陣 滿足 ,我們稱之為 Hermitian,它具備下列美好的性質 (見“Hermitian 特殊矩陣 (9):Hermitian 矩陣”): 的特徵值 必為實數; 有 個完整的單範正交 (orthonormal) 特徵向量,也就是說, 可么正對角化 (unitarily diagonalizable) 為 ,其中 是么正矩陣,,。 對於 Hermitian 矩陣 和 , 與 未必是 Hermitian (除非 和 是可交換矩陣,見定理一)。本文將探討二個 Hermitian 矩陣乘積的一些性質,包括特徵值、跡數 (trace)、可對角化和相似性 ( 是否相似於 )。

Posted in 線性代數專欄, 二次型 | Tagged , , , , , , | Leave a comment