Tag Archives: Hermitian 矩陣

每週問題 January 20, 2014

這是關於一矩陣與其共軛轉置之和的特徵值問題。 Let be an matrix and . Let and be the largest eigenvalue and the smallest eigenvalue of , respectively. Show that every eigenvalue of satisfies . Advertisements

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利用 Gramian 矩陣的譜分解推導奇異值分解

本文的閱讀等級:中級 LU 分解是高斯消去法的一種表達形式 (見“LU 分解”),QR 分解記錄 Gram-Schmidt 正交化的結果 (見“Gram-Schmidt 正交化與 QR 分解”)。那麼奇異值分解的根基又是甚麼?答案並非一個演算法,而是一個性質:Gramian 矩陣的譜分解 (spectral decomposition)。矩陣的特徵值也稱為譜,所謂譜分解就是將特徵值分解出來。設 為一 階矩陣,我們稱 階 和 階 為 Gramian 矩陣。不難確認 和 皆為 Hermitian 半正定矩陣 (見“特殊矩陣 (14):Gramian 矩陣”)。Hermitian 矩陣的譜分解稱作么正對角化 (unitary diagonalization):任一 階 Hermitian 矩陣 可表示為 ,其中 是么正矩陣,,且 是實矩陣, … Continue reading

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Hermitian 矩陣的等價條件

本文的閱讀等級:中級 1994年,美國數學月刊 (American Mathematical Monthly) 登載一位學生的提問:在線性代數期末考試,題目要求寫出 Hermitian 矩陣 的定義,他出於匆忙與疲憊沒有寫下正確的答案 ,他的回答是 。這是正確的答案嗎?是的,三年後美國數學月刊登出了讀者提供的五個證明[1]。   若一個 階矩陣 滿足 ,則 稱為 Hermitian 矩陣 (性質見“特殊矩陣 (9):Hermitian 矩陣”)。Hermitian 矩陣有以下等價的陳述 (充要條件): ; 的二次型必為實數,即對於所有的 , 是實數; 么正相似 (unitarily similar) 於一個實對角矩陣,即存在一個么正 (unitary) 矩陣 ,,使得 ,其中 是實數; ; 。

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每週問題 July 15, 2013

這是關於 Hermitian 矩陣同時可對角化的問題。 Let and be Hermitian matrices. If is positive definite, show that there exists an invertible matrix such that and , where is a diagonal matrix.

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數值域

本文的閱讀等級:高級 給定一 階矩陣 ,矩陣譜 (spectrum) 是所有特徵值所形成的集合,表示為 ;譜半徑 (spectrum radius) 是包含特徵值的最小半徑 (原點是圓中心),記為 (見“譜半徑與矩陣範數”)。類似矩陣譜的表達方式, 的數值域 (numerical range 或 field of values) 定義如下: , 或以 Rayleigh 商表示為 。 這兩個定義是等價的,證明見“Hermitian 矩陣特徵值的變化界定”。為了測量數值域的大小, 的數值半徑 (numerical radius) 定義為包含數值域的最小圓半徑: 。 矩陣譜 是一離散集合,稍後我們將證明數值域 是一連通緊凸集 (connected compact convex set)。如同矩陣譜的功用,數值域也可以幫助我們了解矩陣的本質,尤其是不具特殊形態的一般矩陣。

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每週問題 May 13, 2013

這是正交投影矩陣的界定問題。 Let be an idempotent matrix, i.e., . Show that is Hermitian if and only if the column space of is orthogonal to the nullspace of , i.e., .

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交換子與可交換矩陣

本文的閱讀等級:高級 我們知道矩陣乘法不總是滿足交換律,即 ,其中 和 是 階矩陣。但如果 ,我們說 和 是可交換矩陣 (或對易矩陣)。當矩陣具備清晰的幾何意義時,無須計算也很容易判斷它們是否為可交換矩陣。譬如,在二維空間 ,令旋轉矩陣 表示逆時針旋轉 角,伸縮矩陣 表示 軸伸縮 倍, 軸伸縮 倍,如下 (見“幾何變換矩陣的設計”): 。 從幾何直觀即可確定 ,而且若 ,則 。自然地,我們想探究:對於旋轉矩陣 ,甚至任意矩陣 ,哪些 滿足乘法交換律?不過說來奇怪,找尋可交換矩陣問題並不常見於線性代數教科書。是因為這個問題不值得討論,還是因為這個問題尚未被解決?值不值得討論屬於主觀認知,在此不予評論。不過客觀的事實是:僅使用基礎線性代數知識便可求出 的所有可交換矩陣 。為了探討可交換矩陣問題,我們定義交換子 (commutator,或稱對易算符) 為 與 的差,記為 。 若 ,則 , 和 是可交換矩陣。明顯地, 且 … Continue reading

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轉置與共軛轉置

本文的閱讀等級:初級 矩陣具有加法與純量乘法運算。除了這兩個源自純量算術的運算,矩陣還有一個獨特的運算,稱為轉置 (transpose)。令 為 階矩陣。我們定義 的轉置,記作 ,為一個 階矩陣,其中 。換句話說,將 的列行對調即得轉置矩陣 ,如下例, 。 明顯地,。若 表示成分塊矩陣,則 不僅置換列行分塊,每一個分塊也必須隨之轉置,例如, 。 一般而言,轉置適用於實矩陣。在許多應用中,複矩陣的轉置常會附加共軛運算,稱為共軛轉置 (conjugate transpose)。複數 的共軛定義為 ,其中 且 。類似複數的共軛運算, 的共軛矩陣為 ,共軛轉置則為 ,或簡記為 。例如, 。 如同轉置運算,連續兩次共軛轉置不改變矩陣,。若 是實矩陣,共軛轉置退化成轉置,即 。下面我們討論 (共軛) 轉置與其他矩陣運算的結合,並介紹一些由 (共軛) 轉置所界定的特殊矩陣。

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每週問題 February 4, 2013

這是關於 Hermitian 矩陣乘積的跡數不等式證明。 Let and be Hermitian matrices. Prove that (a) . (b) .

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Hermitian 矩陣與實對稱矩陣的一些實例

本文的閱讀等級:初級 令 為一個 階矩陣。若 ,其中 ,即 ,我們稱 為 Hermitian 矩陣 (見“特殊矩陣 (9):Hermitian 矩陣”)。若所有 都是實數,則 ,實 Hermitian 矩陣即為實對稱矩陣。Hermitian 矩陣和實對稱矩陣是目前應用最廣的特殊矩陣,原因有二:它們具備許多美好的特徵分析性質 (見“實對稱矩陣可正交對角化的證明”,“Hermitian 矩陣特徵值的變化界定”),以及它們「天生地」出現在多樣應用場合。下面列舉一些實例,包括 Hessian 矩陣、共變異數矩陣、鄰接矩陣、二次型和雙線性形式。

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