Tag Archives: Jordan 典型形式

每週問題 April 4, 2016

若 ,則 的最大秩是多少? Let be an matrix and . What is the maximum value of ? Advertisements

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每週問題 March 28, 2016

判定兩個冪零矩陣相似的充要條件。 Let and be nonzero matrices. (a) If , is it true that and are similar if and only if ? (b) If , is it true that and are similar if and only if ?

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證明細解 1

本文的閱讀等級:初級 表面上,數學證明是演繹法的舞台,但本質上,數學證明是一門具有歸納性質的實驗科學活動。面對數學證明問題,我們不僅希望了解各種可能的證明方法,還試圖理解這些證法背後的動機與思維。美國數學家波利亞 (George Polya) 在其名著《怎樣解題》(How to Solve It) 主張數學解題 (包括證明) 過程可分為下列四個階段。 了解問題:要知道未知數是什麼?已知數是什麼?條件是什麼? 擬定計畫:找出已知數與未知數之間的關係。如果這個關係不是很明確,可以嘗試考慮類似的問題。最後,我們應該能想出解題的計畫。 執行計畫:將解題計畫付諸實現,仔細檢查每一個步驟。 驗算與回顧:驗算所得的解答,檢驗每一個論證步驟是否正確。 我們按照波利亞的指點練習如何通過有效的提問激發想法,從而構思出證明計畫,跨越障礙直達問題的核心。從實踐面來看,最為困難的證明階段在於擬定計畫。我想到的一個應對方法是細解一些線性代數定理的精彩證明,以探索法 (heuristic) 對論證推理的每一個步驟作徹底的研究。   定理. 令 與 為 階矩陣。若 ,則 。

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Jordan-Chevalley 分解

本文的閱讀等級:高級 對於一 階複矩陣 ,Jordan-Chevalley 分解[1]是指存在唯一的可對角化矩陣 與冪零 (nilpotent) 矩陣 使得 且 (稱為可交換)。對於複矩陣,Jordan-Chevalley 分解很容易以 Jordan 典型形式表達 (見“Jordan 形式大解讀 (上)”)。我們利用 Jordan 形式證明 Jordan-Chevalley 分解的存在性與唯一性。

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特徵值的代數重數與幾何重數

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階矩陣。若存在一個非零向量 使得 ,我們稱 是 的一個特徵值, 是對應 的特徵向量。將上式寫為 ,可知 的零空間 (nullspace,也稱為對應 的特徵空間) 包含非零向量,故 是不可逆的,也就是說 。因此,我們定義 的特徵多項式為 ,特徵值 即為 的根。若 有 個相異特徵值 ,,特徵多項式可分解如下: , 其中特徵值 的重根數 稱為代數重數 (algebraic multiplicity)。因為 次多項式 有 個根 (包含重根),。特徵空間 的維數,,稱為 的幾何重數 (geometric multiplicity),也就是對應 的最大線性獨立的特徵向量數。以上是多數線性代數教科書採用的定義,其實代數重數還有另一個較為罕見的定義方式:特徵值 的代數重數等於 … Continue reading

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常係數線性遞迴關係式 (中)

本文的閱讀等級:中級 前文介紹了常係數線性齊次遞迴關係式在特徵多項式有相異根的情況下的兩個線性代數解法 (見“常係數線性遞迴關係式 (上)”)。第一個方法建立於數列形成的無限維向量空間,通過與齊次遞迴關係式的特徵多項式同形式之算子多項式的零空間找出解。然而,當特徵多項式存在重根時,零空間基底的推導過程相當繁複。本文使用第二個方法,以簡潔的矩陣分析解出當特徵多項式存在重根時齊次遞迴關係式的通項表達式。

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AB 相似於 BA 的充要條件

本文的閱讀等級:中級 令 和 為 階矩陣。矩陣乘積 和 有相同的特徵值 (包含相重特徵值),但並不總是相似。例如, 且 ,則 和 的特徵多項式同為 。觀察出 不可對角化而 可對角化,表明 和 不具相似性。本文介紹 相似於 的一個充分與必要條件:,,並討論幾個相似性的判定方式 (充分條件)。

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冪矩陣的特徵值與特徵向量

本文的閱讀等級:中級 令 為 階矩陣, 為特徵值 (包含相重特徵值), 為對應的特徵向量。如果已知 的所有特徵值和對應的特徵向量,我們能否找出冪矩陣 ,,的所有特徵值和對應的特徵向量?使用 ,計算可得 故知 有特徵值 ,對應的特徵向量是 。這個結果是否表示我們已經找齊了 的特徵值與對應的特徵向量?看下面的例子: 的特徵值為 和 ,對應的特徵向量分別為 和 。然而, 的特徵值為 和 ,對應的特徵向量分別為 , 和 。冪矩陣 的特徵值確實是 ,但對應的特徵向量除了包含 的特徵向量外,還多一個線性獨立的特徵向量 。換一個說法, 不可對角化 (因為不存在 個線性獨立的特徵向量), 卻可對角化。為甚麼會有這樣奇怪的現象?下面我們就來探討冪矩陣的最大線性獨立的特徵向量數增多的原因。

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每週問題 June 8, 2015

矩陣 相似於 等價於 相似於一實矩陣。 Let be an complex matrix. Show that is similar to a real matrix if and only if is similar to .

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每週問題 March 16, 2015

這是應用 Jordan 形式的證明問題,當然也有其他證法。 Prove that that is no matrix such that .

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