Tag Archives: Jordan 典型形式

每週問題 March 9, 2015

試寫出所有可能的四階冪零矩陣 (nilpotent) 的 Jordan 形式。 Determine all possible Jordan forms for a nilpotent matrix.

Posted in pow 典型形式, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

Cesàro 矩陣序列

本文的閱讀等級:高級 給定一數列 ,Cesàro 數列定義為 ,其中 是 的前 項的平均數,如下: 。 Cesàro 數列因義大利數學家切薩羅 (Ernesto Cesàro) 而得名。若 ,我們說數列 是可累加的 (summable), 稱為 Cesàro 極限。若數列 收斂至 ,則對應的 Cesàro 數列 也收斂至 (證明見附註[1])。收斂性蘊含可累加性,但可累加性未必有收斂性。例如,震盪數列 不收斂,但對應的 Cesàro 數列收斂至 。Cesàro 數列可以推廣至矩陣序列。令 為一 階矩陣。若 存在,則稱 為可累加矩陣。(如果不取平均, 稱為 Neumann 無窮級數[2]。) 若 ,我們稱 … Continue reading

Posted in 線性代數專欄, 數值線性代數 | Tagged , , , , , , | Leave a comment

Hermitian 矩陣乘積的性質

本文的閱讀等級:高級 在線性代數理論與應用中,Hermitian 矩陣可謂最重要的一種特殊矩陣。若一 階矩陣 滿足 ,我們稱之為 Hermitian,它具備下列美好的性質 (見“Hermitian 特殊矩陣 (9):Hermitian 矩陣”): 的特徵值 必為實數; 有 個完整的單範正交 (orthonormal) 特徵向量,也就是說, 可么正對角化 (unitarily diagonalizable) 為 ,其中 是么正矩陣,,。 對於 Hermitian 矩陣 和 , 與 未必是 Hermitian (除非 和 是可交換矩陣,見定理一)。本文將探討二個 Hermitian 矩陣乘積的一些性質,包括特徵值、跡數 (trace)、可對角化和相似性 ( 是否相似於 )。

Posted in 線性代數專欄, 二次型 | Tagged , , , , , , | Leave a comment

矩陣相似於其共軛轉置的充要條件

本文的閱讀等級:中級 任一 階複矩陣 相似於其轉置矩陣 (見“矩陣與其轉置的相似性”),但 未必相似於其共軛轉置 (即 ),原因在於它們的特徵值可能相異。例如, 有特徵值 和 , 是虛數單位,但 的特徵值為 和 。矩陣與其共軛轉置是否相似完全由 Jordan 典型形式決定,本篇短文將討論這個主題。

Posted in 線性代數專欄, 典型形式 | Tagged , , | Leave a comment

每週問題 December 23, 2013

這是關於冪零矩陣的問題。 Let and be matrices. Does imply ?

Posted in pow 典型形式, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

二對稱矩陣分解

本文的閱讀等級:中級 因為近代線性代數教科書隻字不提,多數人可能從未聽聞過這個定理:任一實方陣 可分解為兩個實對稱矩陣的乘積 ,其中 是可逆矩陣;類似地,任一複方陣 可分解為兩個複對稱矩陣的乘積 ,其中 是可逆矩陣[1]。對稱矩陣 滿足 ,Hermitian 矩陣 滿足 。對於實矩陣,對稱矩陣等同於 Hermitian 矩陣;對於複矩陣,對稱矩陣不同於 Hermitian 矩陣。方陣的二對稱矩陣分解看似玄妙,但課本都不講述的定理能有甚麼用途呢?莊子曰:「人皆知有用之用,而莫知無用之用也。」按莊子的看法,「有用之用」與「無用之用」的區別在於個人的主觀認知。本文介紹二對稱矩陣分解的動機純粹是為了演練矩陣分析技巧,下面分別就複矩陣和實矩陣說明採行 Jordan 典型形式的建構式證法。至於這個矩陣分解式到底有用抑或無用,暫且不必急著下定論。

Posted in 線性代數專欄, 典型形式 | Tagged , , | Leave a comment

矩陣相似於其逆的充要條件

本文的閱讀等級:高級 任一 階矩陣 相似於 (見“矩陣與其轉置的相似性”)。若 是一個實正交矩陣 (orthogonal matrix),,則 相似於 。我們不免好奇: 相似於 的充分以及必要條件是甚麼?考慮極端的情況:兩個相等的方陣必定相似。若 ,即 ,我們稱之為對合 (involutory) 矩陣 (見“特殊矩陣 (22):對合矩陣”)。除了對合矩陣,是否還有其他的 相似於 ?二人同心,其利斷金。若 ,其中 和 是對合矩陣,則 , 即知 相似於 。兩個對合矩陣的乘積不僅是矩陣相似於其逆的充分條件,也是必要條件。反向論證較為複雜,本文運用兩種特殊型態矩陣──Jordan 分塊和相伴 (companion) 矩陣──證明:若 相似於 ,則存在對合矩陣 和 使得 。

Posted in 線性代數專欄, 典型形式 | Tagged , , , , , | 4 Comments

每週問題 December 2, 2013

若一矩陣的所有特徵值皆等於 ,則此矩陣相似於其逆矩陣。 Let be an matrix with characteristic polynomial . Show that is similar to its inverse.

Posted in pow 典型形式, 每週問題 | Tagged , , , | Leave a comment

特殊矩陣 (22):對合矩陣

本文的閱讀等級:中級 對合函數 (involution) 是逆函數等於自身的函數,也就是說,對合函數 的定義域中所有 滿足 。令 為一個定義於 或 的 階矩陣。若 ,即 ,則 稱為對合 (involutory) 矩陣。換句話說,對合矩陣是單位矩陣的所有平方根。常見的對合矩陣包括: 單位矩陣 和 反對角 (anti-diagonal) 排列矩陣 列交換矩陣,例如, 簽名 (signature ) 矩陣 Householder 矩陣 ,其中 (見“特殊矩陣 (4):Householder 矩陣”)。直接計算可驗證 下面我們介紹對合矩陣的構造法以及性質。

Posted in 特殊矩陣, 線性代數專欄 | Tagged , , , , , | 2 Comments

Jordan 分塊

本文的閱讀等級:中級 在線性代數中,所謂「相似家族」是指其中成員矩陣彼此具有相似關係。具體地說,若 和 同屬一個「相似家族」,即 相似於 ,則存在一可逆矩陣 使得 。相似是一種等價關係,相似變換下的不變性質包括:特徵多項式、最小多項式、特徵值、行列式、跡數、矩陣秩,以及 Jordan 典型形式 (見“相似變換下的不變性”)。Jordan 形式因創造人法國數學家約當 (Camille Jordan) 而得名。Jordan 分塊為一上三角矩陣,其中主對角元是相同常數,設為 ,主對角上標元 (superdiagonal) 都等於 ,其上的所有元為零,如下所示: 。 Jordan 矩陣是由 Jordan 分塊構成的分塊對角矩陣,或者說 Jordan 矩陣是 Jordan 分塊的直和 (direct sum),如下例: 。 Jordan 形式定理表明任一 階矩陣 必可表示為 Jordan 典型形式 (或稱 Jordan … Continue reading

Posted in 線性代數專欄, 典型形式 | Tagged , , , , , , , | 1 Comment