Tag Archives: Lagrange 內插多項式

每週問題 September 30, 2013

這是證明 Lagrange 內插多項式的唯一存在性。 Given a set of points in which the ’s are distinct, prove that there is a unique polynomial of degree that passes through each point in .

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利用 Lagrange 內插多項式推導 Vandermonde 矩陣的逆矩陣

本文的閱讀等級:中級 考慮 階 Vandermonde 矩陣 , 其中 互異。我們曾利用伴隨 (adjugate) 矩陣及行列式公式導出 的逆矩陣公式 (見“Vandermonde 矩陣的逆矩陣”),但由於涉及行列式運算,推演過程因而相當繁複。本文介紹另一個較簡潔的逆矩陣推導方法──Lagrange 內插多項式 (參見“利用 Lagrange 內插多項式推導 Cauchy 矩陣的逆矩陣”)。

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利用 Lagrange 內插多項式推導 Cauchy 矩陣的逆矩陣

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階 Cauchy 矩陣,其中 ,,或明確表示如下: 。 Cauchy 矩陣的行列式的計算公式如下 (見“每週問題 March 7, 2011”): 。 當集合 和 各自包含相異數時, 是可逆矩陣。本文利用 Lagrange 內插多項式推導 Cauchy 矩陣的逆矩陣。

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矩陣函數 (上)

本文的閱讀等級:中級 給定二階方陣 ,如何計算 ?(取自交大資訊所2007年入學試題) 我們或許直覺認為 各元不過就是 對應元的餘弦函數,,上例為 。 這個定義的缺點在於 未能保留餘弦函數的一些美好性質。舉例而言,既然有 和倍角公式 ,我們自然希望任意方陣 的矩陣函數 和 同樣滿足 和 。但這要如何辦到呢?本文僅解說可對角化矩陣函數,不可對角化矩陣函數涉及 Jordan 形式,將留待下文詳細討論。

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線性世界的根基──疊加原理

本文的閱讀等級:初級 多項式插值 (polynomial interpolation) 是一個典型的數值分析問題,其目的在尋找通過一組採樣數據的多項式,詳述於下:給定一組 個數據點 ,,其中 彼此相異,求最小次多項式 滿足 。 最直接的作法是設 為一個 次多項式 。 將已知條件代入 就得到未知數為 的線性方程,以矩陣形式表達如下: 。 上式的係數矩陣稱為 Vandermonde 矩陣,相異的 保證係數矩陣是可逆的 (見“特殊矩陣(8):Vandermonde 矩陣”),此線性方程解即為所求的多項式係數。接下來我們要討論的是另一個多項式插值法,稱為 Lagrange 內插多項式,並由此展開線性世界的尋根之旅。

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特殊矩陣 (8):Vandermonde 矩陣

本文的閱讀等級:初級 法國數學家范德蒙 (Alexandre-Théophile Vandermonde) 是行列式的奠基者之一,他在十八世紀提出行列式專有符號,將行列式應用於解線性方程組,並且對行列式理論進行了開創性的研究。兩百多年後,他的名字因為一個特殊矩陣而經常被提及。Vandermonde 矩陣具有以下形式: , 其中 是一個 階矩陣,各元為 。同樣地, 也稱為 Vandermonde 矩陣。

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