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線性代數在數值分析的應用 (二):Dirichlet 問題

本文的閱讀等級:中級 在物理學中,等方向均勻介質的一點的溫度變化由熱傳導方程 (heat equation) 所描述[1]: , 其中 是點 於時間 的溫度, 是一正數,稱為熱擴散率 (thermal diffusivity), 是 Laplace 算子 (或稱 Laplacian),定義如下: 。 淺白地說,Laplace 算子度量一點的函數值與其鄰近點的差異。若點 處於穩態,即該點溫度不隨時間改變,則 滿足 Laplace 方程 。如果二階連續可導函數 ( 為一開集) 滿足 Laplace 方程,我們稱之為調和函數 (harmonic function)。本文將探討簡化後的二維 Dirichlet 問題[2]:尋找一調和函數 ,使其在一正方形區域內所有點皆滿足 ,且邊界滿足給定條件 。 Advertisements

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