Tag Archives: Laplace 算子

線性代數在數值分析的應用 (二):Dirichlet 問題

本文的閱讀等級:中級 在物理學中,等方向均勻介質的一點的溫度變化由熱傳導方程 (heat equation) 所描述[1]: , 其中 是點 於時間 的溫度, 是一正數,稱為熱擴散率 (thermal diffusivity), 是 Laplace 算子 (或稱 Laplacian),定義如下: 。 淺白地說,Laplace 算子度量一點的函數值與其鄰近點的差異。若點 處於穩態,即該點溫度不隨時間改變,則 滿足 Laplace 方程 。如果二階連續可導函數 ( 為一開集) 滿足 Laplace 方程,我們稱之為調和函數 (harmonic function)。本文將探討簡化後的二維 Dirichlet 問題[2]:尋找一調和函數 ,使其在一正方形區域內所有點皆滿足 ,且邊界滿足給定條件 。 Advertisements

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梯度、散度與旋度

本文的閱讀等級:初級 向量算子是向量分析 (vector calculus 或 vector analysis) 的馱馬,最重要的算子包括梯度 (gradient)、散度 (divergence) 與旋度 (curl)。令 是一開集, 是一次連續可微函數 (以 表示),且 是定義於 的一 向量場 (vector field)。所謂向量場其實就是一個向量函數,例如, , 有些物理和微積分課本將向量場 表示為 , 其中 是 的標準單位向量 (線性代數慣用的對應記號為 )。為便利表達,我們將微分算子 (讀作nabla) 視為一向量: , 這裡 是偏微分算子。函數 的梯度 (grad),向量場 的散度 (div) 和旋度 … Continue reading

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