Tag Archives: Neumann 無窮級數

電影《心靈捕手》的數學問題 (一)

本文的閱讀等級:中級 美國馬里蘭大學馬尼爾‧蘇里 (Manil Suri) 教授說[1]: 在新聞媒體或文化領域,很少會出現數學這個主題。很多時候,當數學出現在一部小說或電影中時,我就會想起契訶夫諺語中的槍:如果一個數學家不發瘋,就別讓他出場。對數學的焦慮感,像厚厚的陰霾一樣籠罩着萬事萬物。   我知道關於「數學與人物」的電影法則包括 如果你是一個正常人,那麼你應當害怕或討厭數學。 如果你解開別人解不出的數學問題,那麼你不是書呆子就是精神異常者。 如果你的數學本來其爛無比,有一天卻突然擁有超強的特異能力,那麼你可能被外星人附體或腦部受到不明來源的輻射汙染。   在電影《心靈捕手》(Good Will Hunting),麻省理工學院的朗博教授 (Gerald Lambeau) 為激勵學生上進,他在走廊黑板公布數學難題並保證答對者將可名利雙收。清潔工威爾 (Will Hunting) 擁有過人的天賦,性格叛逆亟需心理治療,但尚未惡化到發瘋的地步[2]。朗博教授和威爾同在一棟大樓工作,不過兩人沒有任何交集。本文討論朗博教授張貼的第一個問題。下面是電影片段 (字幕見[3])。

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譜半徑與矩陣範數

本文的閱讀等級:高級 若 ,我們知道 且 。讀者自然會問:矩陣是否也擁有類似的性質?矩陣範數 (matrix norm) 是一種矩陣「大小」的度量,我們不妨由此著手。令 為一 階矩陣,我們曾經證明:若 ,其中 可為任何標準矩陣範數 (稍後詳述),則 Neumann 無窮級數 收斂 (見“Neumann 無窮級數”)。然而 並非 收斂的必要條件,例如, 的特徵值皆為零且 ,但是 。除了矩陣範數,矩陣的特徵值也具有度量矩陣「大小」的功能。考慮特徵方程 ,則 ,故 決定了向量 的長度伸縮。令 為 的所有相異特徵值所成的集合,稱為矩陣譜 (spectrum),並令 為 的最大絕對特徵值,稱為譜半徑 (spectral radius),即 。 在複數平面上, 的所有特徵值都位於圓心在原點,半徑等於 的圓內。類似矩陣範數,譜半徑同樣可控制冪矩陣 的成長。本文討論兩個問題:(1) 如何利用譜半徑 … Continue reading

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條件數

本文的閱讀等級:高級 當一個線性系統受到極微小的擾動即可引發方程解劇烈變化時,我們將無從信任計算結果,便稱它是病態系統 (見“病態系統”)。條件數 (condition number) 是矩陣運算誤差分析的基本工具,它可以度量矩陣對於數值計算的敏感性與穩定性,也可以用來檢定病態系統。本文通過一個簡單的線性方程擾動問題介紹條件數的推導過程,推演工具是矩陣範數 的定義所含的兩個不等式 (見“矩陣範數”): , 。

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Neumann 無窮級數

本文的閱讀等級:中級 設 為一 階矩陣,若 ,則 可逆且 , 上式稱為 Neumann 無窮級數。通過證明此命題可以深入瞭解矩陣範數 (norm) 於分析冪矩陣級數收斂性的作用,運用類似手法也可解釋何以矩陣指數 必定收斂。

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