Tag Archives: QR 分解

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階實矩陣，。如果線性方程 是不一致的 (即不存在解)，實務的作法是將線性方程問題改為最小平方近似問題： ， 其中 是2-範數 (見“向量範數”)，即 與 的歐幾里得距離。根據正交原則，最小平方解 滿足正規方程 (normal equation) (見“從線性變換解釋最小平方近似”)。若 ，也就是說 的行向量 (column vector) 構成一個線性獨立集合，則存在唯一的最小平方解 。 如果最小平方解必須滿足某些束縛條件，則稱為約束最小平方問題 (constrained least-squares problem)。本文討論兩種常出現在多種應用場合的約束形式。線性約束最小平方問題是指束縛條件為線性方程[1]： ， 其中 是一個 階實矩陣，。正則 (regularized) 最小平方問題限制未知向量的長度必須固定： 。

本文的閱讀等級：中級 令 階實矩陣 有線性獨立的行向量 (column vector)。如何求得 階正交投影矩陣 ，其值域為 的行空間？   線代箴言：「工欲善其事，必先利其器。」我們先討論正交投影矩陣的性質。這裡面包含兩個子問題：一般的投影矩陣有甚麼性質？加入正交條件後，又多了甚麼性質？投影矩陣 將 維向量 映射至 ，其中 是 的值域 (行空間)，而且 經 的再次投影恆定不變 (投影兩次等於投影一次)，即 。 因為 是任意向量，可知 ，稱為冪等矩陣 (idempotent matrix)。若 是一正交投影矩陣，投影後的殘量 必定正交於投影子空間 ，其中成員可表示為 (這裡 是一 維向量)，於是有 。 因為 和 是任意向量，可知 。但 是對稱矩陣，故 。