Tag Archives: Rayleigh 商

每週問題 February 3, 2014

Posted on 02/03/2014 by ccjou

這是利用 Rayleigh 商判斷特徵值分布的問題。 Without computing the eigenvalues, decide how many are positive, negative, and zero for .

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每週問題 January 20, 2014

Posted on 01/20/2014 by ccjou

這是關於一矩陣與其共軛轉置之和的特徵值問題。 Let be an matrix and . Let and be the largest eigenvalue and the smallest eigenvalue of , respectively. Show that every eigenvalue of satisfies .

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廣義特徵值問題

Posted on 06/14/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：高級 對於 階矩陣 ，一般特徵值問題欲解出 ，其中 是 的特徵值， 是對應的特徵向量。在一些工程和統計問題中，譬如，自由振動系統，譜聚類分析 (spectral clustering)[1]，我們面對的是廣義特徵值 (generalized eigenvalue) 問題：，其中 和 是兩個 階 Hermitian 矩陣 (或實對稱矩陣)， 稱為 和 的廣義特徵值， 是對應的廣義特徵向量[2]。在多數的應用場合， 是一正定矩陣。本文將推導自由振動系統的動態方程 (譜聚類分析較為複雜，他日另文介紹)，證明優化廣義 Rayleigh 商 (quotient) 等價於廣義特徵值問題，並討論廣義特徵值與廣義特徵向量的性質與算法。

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實對稱矩陣特徵值變化界定的典型問題

Posted on 10/19/2012 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 線性代數所處理的最佳化問題可概分為兩大類：一是線性方程 的最小平方近似解問題，即求出 使得誤差平方 具有最小值。內積空間理論導出最佳解須滿足正規方程式 (normal equation) (見“ 從線性變換解釋最小平方近似”)。二是特徵分析推衍的二次型約束最佳化問題，即求單位向量 (unit vector) 使得 有最大值，其中 是實對稱矩陣。二次型 的極值產生條件是特徵方程式 ，極值大小則由 的特徵值決定 (見“二次型與正定矩陣”)。因為這個緣故，二次型約束最佳化也稱為實對稱矩陣的特徵值變化界定，下面我們討論兩個典型問題並說明完整的解法。   問題一 (取自 2012年台大資訊所碩士班入學試題)：令 為實數，且 ，求 的最大值。

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每週問題 July 18, 2011

Posted on 07/18/2011 by ccjou

這是推導正定矩陣的二次型最小化問題，取自 2011 年台聯大碩士班入學試題。 Pow-July-18-11 參考解答 PowSol-July-18-11

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Courant-Fischer 定理的應用

Posted on 03/23/2010 by ccjou

本文的閱讀等級：高級 Courant-Fischer 定理是“Hermitian 矩陣特徵值的變化界定”一文的主要結果，此定理說明了如何利用最小-最大原則或最大-最小原則推得 Hermitian 矩陣的特徵值，所以也稱作最小-最大 (min-max) 定理。本文介紹 Courant-Fischer 定理的兩個應用：Weyl 定理與Cauchy 交錯特徵值定理。為方便參照，首先回顧 Courant-Fischer 定理。

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Hermitian 矩陣特徵值的變化界定

Posted on 03/16/2010 by ccjou

本文的閱讀等級：高級 在“二次型與正定矩陣”一文，我們曾經介紹對稱矩陣的特徵值與特徵向量於最佳化問題的用途，本文延續該文的討論並進一步將實對稱矩陣推廣至 Hermitian 矩陣 (請參閱背景文章“特殊矩陣 (9)：Hermitian 矩陣”)。令 為一 階 Hermitian 矩陣。對於任一 ，二次型 必為實數。考慮這兩個實數集合： 很明顯，。另一方面，對於任意 ，令 ，則 而且 推論集合 中的任何元素也都屬於 ，所以 。集合 中的表示式 稱為 Rayleigh 商 (quotient)，它與特徵方程式 有著密切的關係。因為 Hermitian 矩陣的特徵值皆為實數，我們可以假設 ，下面這個定理描述了 Rayleigh 商的範圍。

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