Tag Archives: Schur 定理

每週問題 June 26, 2017

對於秩-1方陣 ,證明 。 Let be an matrix and . Prove that . Advertisements

Posted in pow 行列式, 每週問題 | Tagged , | 2 Comments

特徵值的代數重數與幾何重數

本文的閱讀等級:中級 令 為一個 階矩陣。若存在一個非零向量 使得 ,我們稱 是 的一個特徵值, 是對應 的特徵向量。將上式寫為 ,可知 的零空間 (nullspace,也稱為對應 的特徵空間) 包含非零向量,故 是不可逆的,也就是說 。因此,我們定義 的特徵多項式為 ,特徵值 即為 的根。若 有 個相異特徵值 ,,特徵多項式可分解如下: , 其中特徵值 的重根數 稱為代數重數 (algebraic multiplicity)。因為 次多項式 有 個根 (包含重根),。特徵空間 的維數,,稱為 的幾何重數 (geometric multiplicity),也就是對應 的最大線性獨立的特徵向量數。以上是多數線性代數教科書採用的定義,其實代數重數還有另一個較為罕見的定義方式:特徵值 的代數重數等於 … Continue reading

Posted in 特徵分析, 線性代數專欄 | Tagged , , , , , | 10 Comments

冪矩陣的特徵值與特徵向量

本文的閱讀等級:中級 令 為 階矩陣, 為特徵值 (包含相重特徵值), 為對應的特徵向量。如果已知 的所有特徵值和對應的特徵向量,我們能否找出冪矩陣 ,,的所有特徵值和對應的特徵向量?使用 ,計算可得 故知 有特徵值 ,對應的特徵向量是 。這個結果是否表示我們已經找齊了 的特徵值與對應的特徵向量?看下面的例子: 的特徵值為 和 ,對應的特徵向量分別為 和 。然而, 的特徵值為 和 ,對應的特徵向量分別為 , 和 。冪矩陣 的特徵值確實是 ,但對應的特徵向量除了包含 的特徵向量外,還多一個線性獨立的特徵向量 。換一個說法, 不可對角化 (因為不存在 個線性獨立的特徵向量), 卻可對角化。為甚麼會有這樣奇怪的現象?下面我們就來探討冪矩陣的最大線性獨立的特徵向量數增多的原因。

Posted in 線性代數專欄, 典型形式 | Tagged , , , , | Leave a comment

利用 Householder 變換證明 Schur 定理

本文的閱讀等級:中級 任何一個 階矩陣 皆相似於一上三角矩陣 ,其中 的主對角元為 的特徵值,且必存在一么正矩陣 (unitary matrix) 滿足 (見“特殊矩陣 (3):么正矩陣 (酉矩陣)”),使得 。簡單講,任一方陣皆么正相似於一上三角矩陣,或者說任一方陣定可么正三角化,此事實稱為 Schur 定理。我們曾以 Gram-Schmidt 正交化程序設計了建構式證明 (見“矩陣三角化的 Schur 定理”),本文介紹一個利用 Householder 變換的歸納證法。

Posted in 特徵分析, 線性代數專欄 | Tagged , , | Leave a comment

幾何重數不大於代數重數的證明

本文的閱讀等級:中級 給定一個 階矩陣 ,特徵值 是特徵多項式 的根,重根數稱為代數重數 (algebraic multiplicity)。對應特徵值 ,所能找到最大的線性獨立向量數,也就是特徵空間的維數 ,稱為 的幾何重數 (geometric multiplicity)。見下例, 。 上三角矩陣的主對角元為其特徵值,可知 的特徵值為 ;特徵值 的代數重數是 ,特徵值 的代數重數是 。對應特徵值 , 有一個特徵向量 ,幾何重數為 ;對應特徵值 , 有一個特徵向量 ,幾何重數為 。本文利用矩陣三角化證明:對應每一個特徵值,幾何重數必不大於代數重數。(其他證法請參閱“特徵值的代數重數與幾何重數”,“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”,“拒絕行列式的特徵分析”。)

Posted in 特徵分析, 線性代數專欄 | Tagged , , , | 5 Comments

每週問題 November 10, 2014

證明可么正對角化 (或稱可酉對角化,unitarily diagonalizable) 是正規矩陣 (normal matrix) 的一個充要條件。 Let be an matrix. Show that is normal, i.e., , if and only if is unitarily diagonalizable, namely, there exists a unitary matrix of the same size such that where are eigenvalues of … Continue reading

Posted in pow 二次型, 每週問題 | Tagged , , , | Leave a comment

實矩陣的分塊三角化與分塊對角化

本文的閱讀等級:中級 實係數多項式未必存在實根,例如,。專業的數學語彙是實數體 並非一個代數閉體 (algebraically closed field)。這個事實表現在實矩陣可能不存在實特徵值,如下例, , 其中 和 是實數且 。不難驗證 有共軛特徵值 ,其中 。在矩陣理論中,Schur 定理表明任一 階矩陣 必可通過相似變換三角化為 ,其中 是一上三角矩陣, 是一么正 (unitary) 矩陣,滿足 (見“矩陣三角化的 Schur 定理”)。考慮 是實矩陣的情況。若 的特徵值都是實數,則 為實矩陣且 為實正交 (orthogonal) 矩陣,。以下實正交矩陣簡稱為正交矩陣。若 有複 (共軛) 特徵值,則 和 都是複矩陣。在此情況下,如果我們要求 是正交矩陣,則 不再是複上三角矩陣,本文將證明 可以簡化至一個實分塊上三角矩陣。更進一步,若 是可對角化矩陣,則存在一可逆矩陣 … Continue reading

Posted in 特徵分析, 線性代數專欄 | Tagged , , , | Leave a comment

矩陣跡數與特徵值和奇異值的關係

本文的閱讀等級:高級 令 為一個 階複矩陣。矩陣 的主對角元之和稱為跡數 (trace),記作 。 矩陣的跡數與特徵值存在一個簡單的關係 (見“特徵多項式蘊藏的訊息”): , 其中 是 的特徵值。因為種種緣故,多數的基礎線性代數課程就此打住,不再深入探究。引用電影《一代宗師》宮二小姐的話:「寧可一思進,莫在一思停。」現在我們繼續往前進。根據定義,直接計算矩陣乘法可得 本文通過計算 、 和 來探討矩陣跡數與特徵值和奇異值之間的不等關係。

Posted in 特徵分析, 線性代數專欄 | Tagged , , , , , , , , , | 8 Comments

Hermitian 矩陣的等價條件

本文的閱讀等級:中級 1994年,美國數學月刊 (American Mathematical Monthly) 登載一位學生的提問:在線性代數期末考試,題目要求寫出 Hermitian 矩陣 的定義,他出於匆忙與疲憊沒有寫下正確的答案 ,他的回答是 。這是正確的答案嗎?是的,三年後美國數學月刊登出了讀者提供的五個證明[1]。   若一個 階矩陣 滿足 ,則 稱為 Hermitian 矩陣 (性質見“特殊矩陣 (9):Hermitian 矩陣”)。Hermitian 矩陣有以下等價的陳述 (充要條件): ; 的二次型必為實數,即對於所有的 , 是實數; 么正相似 (unitarily similar) 於一個實對角矩陣,即存在一個么正 (unitary) 矩陣 ,,使得 ,其中 是實數; ; 。

Posted in 線性代數專欄, 二次型 | Tagged , , , , , | Leave a comment

特徵值的擾動分析

本文的閱讀等級:高級 若論方陣最精華的本質,誠然非特徵值莫屬。特徵值決定了矩陣所代表的線性變換的固有特性。特徵值的絕對值 (或稱向徑) 表示線性變換的伸縮大小,特徵值的幅角則表示旋轉強弱 (見“解讀複特徵值”)。若 的所有特徵值的絕對值小於 ,則冪矩陣 將隨 增大而收斂至零矩陣 (見“收斂矩陣”)。若 的所有特徵值的實部是負數,當 ,矩陣指數 趨於零矩陣 (見“線性微分方程的穩定性”)。透過對矩陣特徵值的研究,不僅可以幫助我們了解矩陣的本質,還可以提供解讀複雜動態系統行為的線索。本文探討特徵值的擾動分析,也就是在引入擾動的情況下 (如數值計算的捨入誤差或來自線性系統外部的干擾),設法界定矩陣特徵值的變化範圍。我們將運用矩陣範數、對角化和三角化推導出兩個特徵值變異的上界[1]。

Posted in 線性代數專欄, 數值線性代數 | Tagged , , , , , | Leave a comment