Tag Archives: Schur 定理

每週問題 June 26, 2017

Posted on 06/26/2017 by ccjou

對於秩-1方陣 ，證明 。 Let be an matrix and . Prove that .

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特徵值的代數重數與幾何重數

Posted on 11/19/2015 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階矩陣 (或稱方陣)。若存在一個非零向量 使得 ，則稱 是 的一個特徵值， 是對應 的特徵向量。將上式改寫為 ，即知 矩陣的零空間 (nullspace) 包含非零向量，也稱為對應 的特徵空間，記作 。所以， 是不可逆的，亦即 ，於是我們定義方陣 的特徵多項式為 ，特徵值 即為 的根。假設 有 () 個相異特徵值 ，特徵多項式可分解為 ， 其中特徵值 的重根數 稱為代數重數 (algebraic multiplicity)。顯然， 次多項式 有 個根 (包含重根)，可知 。特徵空間 的維數 稱為 … Continue reading →

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冪矩陣的特徵值與特徵向量

Posted on 06/11/2015 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 令 為 階矩陣， 為特徵值 (包含相重特徵值)， 為對應的特徵向量。如果已知 的所有特徵值和對應的特徵向量，我們能否找出冪矩陣 ，，的所有特徵值和對應的特徵向量？使用 ，計算可得 故知 有特徵值 ，對應的特徵向量是 。這個結果是否表示我們已經找齊了 的特徵值與對應的特徵向量？看下面的例子： 的特徵值為 和 ，對應的特徵向量分別為 和 。然而， 的特徵值為 和 ，對應的特徵向量分別為 ， 和 。冪矩陣 的特徵值確實是 ，但對應的特徵向量除了包含 的特徵向量外，還多一個線性獨立的特徵向量 。換一個說法， 不可對角化 (因為不存在 個線性獨立的特徵向量)， 卻可對角化。為甚麼會有這樣奇怪的現象？下面我們就來探討冪矩陣的最大線性獨立的特徵向量數增多的原因。

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利用 Householder 變換證明 Schur 定理

Posted on 01/12/2015 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 任何一個 階矩陣 皆相似於一上三角矩陣 ，其中 的主對角元為 的特徵值，且必存在一么正矩陣 (unitary matrix) 滿足 (見“特殊矩陣 (3)：么正矩陣 (酉矩陣)”)，使得 。簡單講，任一方陣皆么正相似於一上三角矩陣，或者說任一方陣定可么正三角化，此事實稱為 Schur 定理。我們曾以 Gram-Schmidt 正交化程序設計了建構式證明 (見“矩陣三角化的 Schur 定理”)，本文介紹一個利用 Householder 變換的歸納證法。

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幾何重數不大於代數重數的證明

Posted on 11/14/2014 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 給定一個 階矩陣 ，特徵值 是特徵多項式 的根，重根數稱為代數重數 (algebraic multiplicity)。對應特徵值 ，所能找到最大的線性獨立向量數，也就是特徵空間的維數 ，稱為 的幾何重數 (geometric multiplicity)。見下例， 。 上三角矩陣的主對角元為其特徵值，可知 的特徵值為 ；特徵值 的代數重數是 ，特徵值 的代數重數是 。對應特徵值 ， 有一個特徵向量 ，幾何重數為 ；對應特徵值 ， 有一個特徵向量 ，幾何重數為 。本文利用矩陣三角化證明：對應每一個特徵值，幾何重數必不大於代數重數。(其他證法請參閱“特徵值的代數重數與幾何重數”，“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”，“拒絕行列式的特徵分析”。)

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每週問題 November 10, 2014

Posted on 11/10/2014 by ccjou

證明可么正對角化 (或稱可酉對角化，unitarily diagonalizable) 是正規矩陣 (normal matrix) 的一個充要條件。 Let be an matrix. Show that is normal, i.e., , if and only if is unitarily diagonalizable, namely, there exists a unitary matrix of the same size such that where are eigenvalues of … Continue reading →

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實矩陣的分塊三角化與分塊對角化

Posted on 01/20/2014 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 實係數多項式未必存在實根，例如，。專業的數學語彙是實數體 並非一個代數閉體 (algebraically closed field)。這個事實表現在實矩陣可能不存在實特徵值，如下例， ， 其中 和 是實數且 。不難驗證 有共軛特徵值 ，其中 。在矩陣理論中，Schur 定理表明任一 階矩陣 必可通過相似變換三角化為 ，其中 是一上三角矩陣， 是一么正 (unitary) 矩陣，滿足 (見“矩陣三角化的 Schur 定理”)。考慮 是實矩陣的情況。若 的特徵值都是實數，則 為實矩陣且 為實正交 (orthogonal) 矩陣，。以下實正交矩陣簡稱為正交矩陣。若 有複 (共軛) 特徵值，則 和 都是複矩陣。在此情況下，如果我們要求 是正交矩陣，則 不再是複上三角矩陣，本文將證明 可以簡化至一個實分塊上三角矩陣。更進一步，若 是可對角化矩陣，則存在一可逆矩陣 … Continue reading →

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矩陣跡數與特徵值和奇異值的關係

Posted on 10/30/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：高級 令 為一個 階複矩陣。矩陣 的主對角元之和稱為跡數 (trace)，記作 。 矩陣的跡數與特徵值存在一個簡單的關係 (見“特徵多項式蘊藏的訊息”)： ， 其中 是 的特徵值。因為種種緣故，多數的基礎線性代數課程就此打住，不再深入探究。引用電影《一代宗師》宮二小姐的話：「寧可一思進，莫在一思停。」現在我們繼續往前進。根據定義，直接計算矩陣乘法可得 本文通過計算 、 和 來探討矩陣跡數與特徵值和奇異值之間的不等關係。

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Hermitian 矩陣的等價條件

Posted on 10/21/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：中級 1994年，美國數學月刊 (American Mathematical Monthly) 登載一位學生的提問：在線性代數期末考試，題目要求寫出 Hermitian 矩陣 的定義，他出於匆忙與疲憊沒有寫下正確的答案 ，他的回答是 。這是正確的答案嗎？是的，三年後美國數學月刊登出了讀者提供的五個證明[1]。   若一個 階矩陣 滿足 ，則 稱為 Hermitian 矩陣 (性質見“特殊矩陣 (9)：Hermitian 矩陣”)。Hermitian 矩陣有以下等價的陳述 (充要條件)： ； 的二次型必為實數，即對於所有的 ， 是實數； 么正相似 (unitarily similar) 於一個實對角矩陣，即存在一個么正 (unitary) 矩陣 ，，使得 ，其中 是實數； ； 。

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特徵值的擾動分析

Posted on 06/18/2013 by ccjou

本文的閱讀等級：高級 若論方陣最精華的本質，誠然非特徵值莫屬。特徵值決定了矩陣所代表的線性變換的固有特性。特徵值的絕對值 (或稱向徑) 表示線性變換的伸縮大小，特徵值的幅角則表示旋轉強弱 (見“解讀複特徵值”)。若 的所有特徵值的絕對值小於 ，則冪矩陣 將隨 增大而收斂至零矩陣 (見“收斂矩陣”)。若 的所有特徵值的實部是負數，當 ，矩陣指數 趨於零矩陣 (見“線性微分方程的穩定性”)。透過對矩陣特徵值的研究，不僅可以幫助我們了解矩陣的本質，還可以提供解讀複雜動態系統行為的線索。本文探討特徵值的擾動分析，也就是在引入擾動的情況下 (如數值計算的捨入誤差或來自線性系統外部的干擾)，設法界定矩陣特徵值的變化範圍。我們將運用矩陣範數、對角化和三角化推導出兩個特徵值變異的上界[1]。

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