Tag Archives: Schwarz 不等式

每週問題 November 28, 2016

證明半正定矩陣的倒數矩陣為半正定的一個充要條件。 Let be an Hermitian and positive semidefinite matrix and with the property . Show that is positive semidefinite if and only if . Advertisements

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每週問題 March 7, 2016

Schwarz 不等式的等號成立的一個充要條件為兩個向量是線性相關的。 Let and be vectors in an inner product space, and denote the inner product of and . Prove that if (that is, the Schwarz inequality reduces to an equality), then and are linearly dependent.

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每週問題 February 9, 2015

證明一特殊矩陣的2-範數等於 Frobenius 範數。 If , show that , where is the 2-norm and is the Frobenius norm.

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向量範數

本文的閱讀等級:中級 線性代數的許多概念與主題衍生自歐幾里得幾何。典型的一個作法是將 和 的幾何觀念推廣至高維座標空間 和 。譬如,畢氏定理可用來計算二維實向量 和三維實向量 的長度: , 稱為歐氏範數 (Euclidean norm)。類似地, 維向量長度也有相同的算式。對於 , 。 上式中,我們以向量內積來表達 維實向量的歐氏範數。同樣道理, 維複向量的歐氏範數應該用複向量內積表達。對於 ,歐氏範數定義為 。 若 ,其中 和 是實數,,則 ,即有 。所以, 確保複向量的歐氏範數 不為負值。

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海森堡不確定性原理的矩陣證明

本文的閱讀等級:高級 在量子力學裏,不確定性原理[1](uncertainty principle) 表明:粒子的位置與動量不可同時被確定,位置的不確定性 與動量的不確定性 遵守不等式 , 其中 , 是普朗克常數[2](Planck constant)。海森堡[3] (Werner Heisenberg) 在1927年發表的一篇論文裏,寫下 。 雖然他提到這公式可以從對易關係 (稍後將說明) 推導出來,但他並沒有寫出相關的數學論證,也沒有給予 和 確切的定義。同年,肯納德 (Earl Hesse Kennard) 首先證明不確定關係不等式,1929年羅伯森 (Howard Percy Robertson) 又從對易關係推導出相同的結論[4]。本文使用現代讀者熟悉的矩陣分析方法證明不確定性原理。由於我對量子力學幾乎一無所知,在提到相關知識的時候均盡量列舉引用出處以方便讀者參照查詢。文中若有錯誤,敬請不吝指正。

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每週問題 February 4, 2013

這是關於 Hermitian 矩陣乘積的跡數不等式證明。 Let and be Hermitian matrices. Prove that (a) . (b) .

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矩陣範數

本文的閱讀等級:中級 幾何向量 的大小表現於其長度 (原點至向量端點的歐氏距離),那麼矩陣 的大小應如何度量呢?矩陣的大小度量稱為矩陣範數 (norm),記為 。佈於相同數系 ( 或 ) 且尺寸相同的矩陣集合構成一個向量空間,因此最直接的度量方式是仿造向量長度來定義矩陣範數。令 階矩陣 的行向量 (column vector) 為 ,其中 。Frobenius 範數定義如下: 。 Frobenius 範數 也可以由下式算得: 。 直接展開計算可驗證上面二式相等: 。 另外,Frobenius 範數與 的奇異值有關。令 ,,,為 的奇異值,其中 。下式成立 (證明見“SVD 於矩陣近似的應用”): 。

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Schwarz 不等式

本文的閱讀等級:中級 Schwarz 不等式是一條應用廣泛的不等式,常見於線性代數的內積空間,數學分析的無窮級數,以及連續函數之積的積分。Schwarz 不等式給出內積空間中兩個向量的內積大小與各自長度之積的不等關係。若 與 為內積空間 的向量,Schwarz 不等式說: , 其中 代表 與 的內積。

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從幾何向量空間到函數空間

本文的閱讀等級:中級 基礎線性代數課程常將討論的向量空間侷限於有限維幾何向量空間 ,主要的原因有兩個:第一是不需要透過座標映射便可將矩陣結構與向量空間結合在一起;第二是幾何向量空間,譬如 與 是高中座標幾何的延伸,由此較容易建立起向量空間的觀念。本文採用問答方式,一步步系統化地介紹如何將幾何向量空間延伸推廣至函數空間。

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