Tag Archives: Sylvester 慣性定律

廣義特徵值問題

本文的閱讀等級:高級 對於 階矩陣 ,一般特徵值問題欲解出 ,其中 是 的特徵值, 是對應的特徵向量。在一些工程和統計問題中,譬如,自由振動系統,譜聚類分析 (spectral clustering)[1],我們面對的是廣義特徵值 (generalized eigenvalue) 問題:,其中 和 是兩個 階 Hermitian 矩陣 (或實對稱矩陣), 稱為 和 的廣義特徵值, 是對應的廣義特徵向量[2]。在多數的應用場合, 是一正定矩陣。本文將推導自由振動系統的動態方程 (譜聚類分析較為複雜,他日另文介紹),證明優化廣義 Rayleigh 商 (quotient) 等價於廣義特徵值問題,並討論廣義特徵值與廣義特徵向量的性質與算法。 Advertisements

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答陳威丞──關於半正定矩陣的一個證明問題

網友陳威丞留言: 老師我是某校經濟系的學生,有一題題目在我的能力範圍外,可以請老師有空幫我解題亦或是跟我說一下需要用的什麼定理好讓我有個方向嗎? 設 和 之逆矩陣存在,若 為半正定且 ,,則試證 亦為半正定矩陣 (見“特殊矩陣 (6):正定矩陣”)。

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相合變換

本文的閱讀等級:高級 理解線性代數各主要變換核心觀念和運算機制的一個有效方法是將研究焦點放在變換的不變性質上。例如,高斯消去法運用基本列運算產生列等價梯形矩陣,其效果等於左乘矩陣 一基本矩陣 ,表示如 (見“特殊矩陣 (10):基本矩陣”)。若一列減去另一列與某數的乘積,矩陣的許多性質維持不變,包括矩陣秩、列空間、零空間,以及行列式。又如相似變換 的基本運算為基底變換,目的是為了化簡矩陣成為對角形式或 Jordan 形式,此過程不改變矩陣秩、行列式、跡數、特徵值和 Jordan 形式 (見“相似變換下的不變性質”)。針對對稱矩陣或 Hermitian 矩陣 ,我們也可以問:二次型 或 的基本運算為何?哪些性質不受此運算改變?

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