Tag Archives: Vandermonde 矩陣

每週問題 October 19, 2015

這是可交換矩陣的多項式表達問題。 Let and be matrices such that . If has distinct eigenvalues, show that can be expressed uniquely as a polynomial in with degree no more than . Advertisements

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利用 Vandermonde 矩陣證明相異特徵值對應線性獨立的特徵向量

本文的閱讀等級:初級 令 為一 階矩陣, 為特徵值 (包含相重特徵值), 為對應的特徵向量,即有 ,。本文介紹如何利用 Vandermonde 矩陣證明對應相異特徵值的特徵向量組成一線性獨立集。(此證法源於網友 Meiyue Shao 對“相異特徵值對應線性獨立的特徵向量之簡易證明”的回應。)

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窮人的多項式求根法

本文的閱讀等級:初級 給定三次多項式 , 如何求得 的三個根?你可以購買一套商用數學軟體或使用校園授權軟體 (費用已經隱藏在繳交的學費中)。例如,MATLAB,輸入兩個指令:     p = [1 -6 -72 -27];     r = roots(p) 馬上就得到答案:     r =           12.1229           -5.7345           -0.3884 如果你近來阮囊羞澀或無法取得校園授權軟體,是否還有其他不用花錢的便捷方法?易經曰:「窮則變,變則通,通則久。」下面我介紹一個窮人的多項式求根法。首先我們要備妥一個免費的矩陣特徵值計算程式,譬如,具有多種功能的線上矩陣計算器 Online Matrix Calculator。在主畫面視窗鍵入三次多項式 的 階相伴 (companion) 矩陣 , 勾選 Eigenvalues/eigenvectors,按下 Calculate,可得三個特徵值,此即為三次多項式 的根。事實上,MATLAB 採用完全相同的多項式求根算法[1]。有錢或沒錢的差別待遇往往僅在於外表包裝不同而已。

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每週問題 September 30, 2013

這是證明 Lagrange 內插多項式的唯一存在性。 Given a set of points in which the ’s are distinct, prove that there is a unique polynomial of degree that passes through each point in .

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每週問題 June 25, 2012

本週問題是關於 Vandermonde 行列式的證明問題。 Pow-June-25-12 參考解答 PowSol-June-25-12

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每週問題 June 18, 2012

本週問題是證明若一 階方陣有互異的特徵值,則存在一向量 使得 為線性獨立集。 Pow-June-18-12 參考解答 PowSol-June-18-12

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利用 Lagrange 內插多項式推導 Vandermonde 矩陣的逆矩陣

本文的閱讀等級:中級 考慮 階 Vandermonde 矩陣 , 其中 互異。我們曾利用伴隨 (adjugate) 矩陣及行列式公式導出 的逆矩陣公式 (見“Vandermonde 矩陣的逆矩陣”),但由於涉及行列式運算,推演過程因而相當繁複。本文介紹另一個較簡潔的逆矩陣推導方法──Lagrange 內插多項式 (參見“利用 Lagrange 內插多項式推導 Cauchy 矩陣的逆矩陣”)。

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Vandermonde 矩陣的逆矩陣公式

本文的閱讀等級:初級 考慮下列 階 Vandermonde 矩陣 , 記為 或 ,其中 。Vandermonde 矩陣 有一個簡單的行列式公式,如下 (見“特殊矩陣 (8):Vandermonde 矩陣”): 。 當 互異時,, 是可逆矩陣。本文利用伴隨 (adjugate) 矩陣及行列式公式推導 Vandermonde 矩陣 的逆矩陣。

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離散傅立葉轉換

本文的閱讀等級:中級 考慮定義於區間 的 -週期函數 的指數傅立葉級數 (見“傅立葉級數 (下)”): , 其中複傅立葉係數為 。 若 滿足 Dirichlet 條件 (見“傅立葉級數 (上)”),可以證明 ,在此情況下,往後我們不再區分函數 與其傅立葉級數 ,而一律以 表示。本文將解除 是週期函數的限制,以下僅假設 是有界的。當 ,傅立葉級數可推廣為傅立葉轉換 (Fourier transform)。還有,若 不再是連續函數而是一有限數列,傅立葉級數又可延伸為離散傅立葉轉換 (discrete Fourier transform,簡稱 DFT)。本文將介紹這兩種轉換的推導過程,並解說離散傅立葉轉換的線性代數性質。

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線性世界的根基──疊加原理

本文的閱讀等級:初級 多項式插值 (polynomial interpolation) 是一個典型的數值分析問題,其目的在尋找通過一組採樣數據的多項式,詳述於下:給定一組 個數據點 ,,其中 彼此相異,求一最小次多項式 滿足 最直接的作法是設 為一 次多項式: 將已知條件代入 就得到未知數為 的線性方程,以矩陣形式表達如下: 上面的係數矩陣稱為 Vandermonde 矩陣,相異的 保證係數矩陣是可逆的 (見“特殊矩陣(8):Vandermonde 矩陣”),此線性方程解即為所求的多項式係數。接下來我們要討論的是另一個多項式插值法,稱為 Lagrange 內插多項式,並由此展開線性世界的尋根之旅。

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