Tag Archives: Wronskian

利用多項式分解向量空間──兼論齊次線性微分方程解法

本文的閱讀等級:中級 考慮齊次線性微分方程 , 其中 是微分算子, 皆為常係數。令 。 以 取代 ,可得 。從線性代數觀點,求解齊次線性微分方程 等同於計算線性算子 的核 (kernel) 或零空間 (見“從線性代數看微分方程”)。本文解釋如何利用多項式來分解向量空間,藉此並可建立齊次線性微分方程解法的理論基礎。 Advertisements

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答vbigmouse chen──關於Wronskian於判斷線性獨立函數的應用

網友vbigmouse chen留言: 周老師好,我是幾年前修您計結的學生,前幾天在使用Wronskian判斷函數相關性的時候,發現了一些問題想請教 (以下問題源自“利用行列式判斷線性獨立函數”): Q1. 為什麼是不可微分呢? 根據微分的定義 ,在 時則 ,當 時,左微分=右微分=,那為什麼老師說不可微分呢? Q2. 對於所有可微分(解析)函數來說,Wronskian= 為什麼無法推得線性相關?舉例來說, 根據LD (linear dependence) 的定義 : 若 存在 不全為 ,使得等式成立,則稱 線性相關。對等式微分一次,若 可微分,則得到 。 將兩條等式寫成矩陣形式 ,若 為奇異則存在非零 使 成立 符合LD之定義,但實際上卻不能這樣推論,這中間有那裡出現問題了呢? Q3. 針對Q2來說,一般會舉出反例如 ,,在正負無限間明顯兩者為LID (linear independence)。若說 不可微分,則無法套用Wronskian,也就是是否LD和Wronskian無關(或說Wronskian無法計算)。 但如Q1所述,如果微分定義成立,則 至少可以微分兩次,足以計算一個2階的Wronskian了,經過計算 … Continue reading

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利用行列式判斷線性獨立函數

本文的閱讀等級:初級 設想我們解出一道齊次常係數微分方程,解具有以下形式: 。 一般解為 , 和 的線性組合,這三個函數提供了齊次微分方程解空間的基底,也稱為解基。既然這些函數構成一組基底,它們就必須是線性獨立的,但要如何判斷呢?讓線性代數來回答這個問題。

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