數據充分性問題

數據充分性 (data sufficiency) 題型的設計目的在於測驗基本知識、邏輯推理和思考能力。每一個問題包含兩部分：問題本身 (含已知條件) 以及二個陳述 (標記為1和2)。我們要決定這二個陳述的充分性，即是否足以回答給定的問題，共有五個選項：

(A) 陳述1足以回答這個問題，但陳述2不足以回答這個問題
(B) 陳述2足以回答這個問題，但陳述1不足以回答這個問題
(C) 二個陳述一起足以回答這個問題，但僅用單一陳述不足以回答這個問題
(D) 每一個單獨陳述足以回答這個問題
(E) 二個陳述一起不足以回答這個問題，並且需要額外數據來回答這個問題

由於解答過程主要涉及論證，因此幾乎不需或僅需少量計算。一般來說，數據充分性問題包含兩種類型：判斷問題和求值問題。判斷問題要求論證存在性，求值問題則論證唯一性。下面列舉二個例子。

 
例一：判斷問題

If A is a singular matrix, is A\mathbf{x}=\mathbf{b} consistent?

  1. \mathbf{b} is in the row space of A.
  2. \mathbf{b} is in the nullspace of A.

答案：E
解釋：由 (1) 我們知道存在 \mathbf{y} 使得 \mathbf{b}=A^T\mathbf{y}，但這不表示 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 有解。由 (2) 我們知道 A\mathbf{b}=\mathbf{0}，但這也不表示 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 有解。所以答案應選 E。線性方程 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 有解的充要條件是 \mathbf{b} 屬於 A 的行空間 (column space)。

 
例二：求值問題

If A=\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}，what are the eigenvalues of A?

  1. \det A=6
  2. \text{trace}A=5

答案：C
解釋：設 2\times 2 階矩陣 A 的特徵值為 \lambda_1 和 \lambda_2，則 A 的特徵多項式為

p(t)=(t-\lambda_1)(t-\lambda_2)=t^2-(\lambda_1+\lambda_2)t+\lambda_1\lambda_2。

因為 \det A=\lambda_1\lambda_2 且 \text{trace}A=\lambda_1+\lambda_2，可知 p(t)=t^2-(\text{trace}A)t+\det A，故條件 (1) 和 (2) 一起可解出 p(t) 的二根 \lambda_1 和 \lambda_2，缺一不可。所以答案是 C。

 
問題列表：

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