對於秩-1方陣 ,證明 。
Let be an matrix and . Prove that .
參考解答:
證明1. 使用 Schur 三角化定理。存在一個么正矩陣 (unitary matrix) ,,使得 ,其中 是上三角矩陣且 ,即
。
使用跡數循環不變性,
證明2. 令 ,其中 與 為非零向量。使用 Sylvester 行列式定理,
對於秩-1方陣 ,證明 。
Let be an matrix and . Prove that .
參考解答:
證明1. 使用 Schur 三角化定理。存在一個么正矩陣 (unitary matrix) ,,使得 ,其中 是上三角矩陣且 ,即
。
使用跡數循環不變性,
證明2. 令 ,其中 與 為非零向量。使用 Sylvester 行列式定理,
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因為,所以A必有一個非零的eigenvalue,設此值為,且0必為A的eigenvalue,0的multiclipity為n-1。依此,A可以對角化。
令為A的eigen decomposition,則
秩1矩阵不一定能对角化吧!例如,A=[0 1; 0 0],A的两个特征值都是0,rank=1,但是不能对角化。
A+I的特征方程:(-1)^n X^(n-1)(X-traceA),令X=-1代入
笔误,前面是A,此外,应该可以从特征向量的角度直接从几何上说明,A有一个非0特征向量a,A*a=traceA*a,I*a=1*a,左右相加,因为特征值就是对应特征向量的拉伸系数,A+I作用在a上的效果就是它行列式的作用效果,所以等式成立。