如何學好線性代數?

線性代數是美國數學教授哈爾莫斯 (Paul R. Halmos) 的專長,他在26歲時出版了一本經典教材《有限維向量空間》(Finite-Dimensional Vector Spaces)。哈爾莫斯在回憶錄《我要做數學家》(I Want to Be a Mathematician) 談到他第一次學習線性代數的悲慘遭遇[1]

代數課很難,我讀得很生氣。…當我說生氣,我是真的生氣。Brahana 不知道如何說清楚,我們的教材是 Bôcher 的書 (我認為寫得一團糟),我花在這個科目的多數時間裡,我的情緒惱火到憤怒。…不知怎麼的,我的線性代數導論最後倖存下來。過了四、五年,在我取得博士學位,聽了諾伊曼 (von Neumann) 講的算子理論後,我才真正開始明白這個科目到底在講甚麼。

為甚麼線性代數這麼難?從哈爾莫斯說的這段話可以歸結兩個原因:第一是老師很爛,第二是課本很糟。如果學習一門科目的兩個重要 (必要?) 條件不是爛就是糟,我們還能冀望學好它嗎?不過話說回來,即使哈爾莫斯的線性代數啟蒙老師是數學大師諾伊曼,哈爾莫斯未必當下就能真正明白線性代數在講甚麼。我說的真正明白不是指考試拿高分,而是有一天你在洗澡時豁然開悟,奔出浴室光著身子在馬路上邊跑邊叫:「啊哈!我明白了!」老實講,我不認為有那個老師或那本教科書可以讓學生「第一次學線代就上手」。真正全面性的理解線性代數需要時間,需要勤奮練習與堅持思考。

Continue reading

Posted in 周老師時間 | Tagged , | Leave a comment

每週問題 June 26, 2017

對於秩-1方陣 A,證明 \det (A+I)=\hbox{trace}A+1

Let A be an n\times n matrix and \hbox{rank}A=1. Prove that \det (A+I)=\hbox{trace}A+1.

Continue reading

Posted in pow 行列式, 每週問題 | Tagged , | 4 Comments

每週問題 June 19, 2017

證明一個可逆矩陣存在 QR 分解。

Prove that an invertible matrix A can be represented in the form A=QR, where Q is an orthogonal matrix and R is an upper triangular matrix.

Continue reading

Posted in pow 內積空間, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

每週問題 June 12, 2017

證明 Gram-Schmidt 正交化定理。

Let \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n be a basis of an inner product space. Prove that there exists an orthogonal basis \mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n such that \mathbf{e}_i\in\hbox{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_i\} for all i=1,\ldots,n.

Continue reading

Posted in pow 內積空間, 每週問題 | Tagged | 1 Comment

每週問題 June 5, 2017

證明 A+A^T 是不可逆矩陣的一個充分條件。

Let A and B be n\times n matrices, where n is an odd number. Prove that if AB=0 then at least one of the matrices A+A^T and B+B^T is singular.

Continue reading

Posted in pow 向量空間, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment

每週問題 May 29, 2017

這是零空間的包容關係與矩陣乘法的問題。

Let A and B be complex matrices of size m\times n and p\times n, respectively. If N(A)\subset N(B), prove that B=XA for some p\times m matrix X.

Continue reading

Posted in pow 內積空間, 每週問題 | Tagged | Leave a comment

每週問題 May 22, 2017

以伴隨矩陣的行列式表達分塊矩陣的行列式。

Suppose A is n\times n, B is n\times 1, C is 1\times n, and d is a number. Prove that

\begin{vmatrix} A&B\\ C&d \end{vmatrix}=d|A|-C(\hbox{adj}A)B.

Continue reading

Posted in pow 行列式, 每週問題 | Tagged , | 1 Comment

每週問題 May 15, 2017

反對稱矩陣的伴隨矩陣 (adjugate) 是對稱或反對稱矩陣。

Let A be an n\times n skew-symmetric matrix. Prove that \hbox{adj}A is a symmetric matrix for odd n and a skew-symmetric matrix for even n.

Continue reading

Posted in pow 行列式, 每週問題 | Tagged , , | Leave a comment

每週問題 May 8, 2017

這是關於基底的一個充分條件問題。

Let \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_{n+1} be vectors in \mathbb{R}^n (n\ge 2) such that \mathbf{v}_i^T\mathbf{v}_j<0 for i\neq j. Prove that any n of these vectors form a basis of \mathbb{R}^n.

Continue reading

Posted in pow 向量空間, 每週問題 | Tagged | 3 Comments

每週問題 May 1, 2017

證明嚴格對角佔優 (strictly diagonally dominant) 矩陣是可逆矩陣。

Let A=[a_{ij}] be an n\times n matrix. Prove that if |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}| for i=1,\ldots,n, then A is invertible.

Continue reading

Posted in pow 線性方程與矩陣代數, 每週問題 | Tagged , , | Leave a comment

每週問題 April 24, 2017

證明矩陣積的值域與零空間的維數恆等式。

Let A be an m\times n matrix and B be an n\times p matrix. Prove that

\dim (C(B)\cap N(A))=\dim C(B)-\dim C(AB)=\dim N(AB)-\dim N(B).

Note that C(X) and N(X) denote the column space and nullspace of X, respectively.

Continue reading

Posted in pow 向量空間, 每週問題 | Tagged , | Leave a comment