每週問題 March 27, 2017

若對角矩陣有相異對角元與某個矩陣是可交換的,則該矩陣也是對角矩陣。

Prove the following statements.
(a) Let D=\hbox{diag}(d_1,\ldots,d_n), where d_i are distinct. If AD=DA, then A is a diagonal matrix.
(b) Let D=\hbox{diag}(d_1,\ldots,d_n), where d_i are distinct and nonzero, and N=[n_{ij}] be an n\times n matrix, where n_{ij}=\delta_{i+1,j}. If AD=DA and NDA=AND, then A=aI.

繼續閱讀

張貼在 pow 線性方程與矩陣代數, 每週問題 | 標記 | 發表留言

每週問題 March 20, 2017

證明 A+B 為正規矩陣 (normal matrix) 是一個充分條件。

Let A and B be normal matrices such that C(A)\perp C(B), where C(X) denotes the column space of X. Prove that A+B is a normal matrix. Note that P is a normal matrix if P^\ast P=PP^\ast.

繼續閱讀

張貼在 pow 二次型, 每週問題 | 標記 | 1 則迴響

每週問題 March 13, 2017

任一正規矩陣 (normal matrix) 可表示為一個正規矩陣的平方。

Let A be a normal matrix, i.e., A^\ast A=AA^\ast. Prove that there exists a normal matrix B such that A=B^2.

繼續閱讀

張貼在 pow 二次型, 每週問題 | 標記 | 發表留言

每週問題 March 6, 2017

證明 Hermitian 矩陣的秩與跡數不等式。

Let A be an n\times n nonzero Hermitian matrix. Prove that

\displaystyle  \hbox{rank}A\ge\frac{(\hbox{trace}A)^2}{\hbox{trace}(A^2)}.

繼續閱讀

張貼在 pow 二次型, 每週問題 | 標記 , , | 發表留言

每週問題 February 27, 2017

利用相合 (congruence) 變換證明若 A\succ B\succ 0,則 B^{-1}\succ A^{-1}

Let A and B be Hermitian matrices. We will write that A\succ B if A-B is positive definite. The inequality A\succ 0 means that A is positive definite. Prove that if A\succ B\succ 0, then B^{-1}\succ A^{-1}.

繼續閱讀

張貼在 pow 二次型, 每週問題 | 標記 , | 發表留言

每週問題 February 20, 2017

證明三階旋轉矩陣的一個跡數恆等式。

Let A be a 3\times 3 real orthogonal matrix and \det A=1. Prove that

(\hbox{trace}A)^2-\hbox{trace}(A^2)=2\,\hbox{trace}A.

繼續閱讀

張貼在 pow 特徵分析, 每週問題 | 標記 , , , | 1 則迴響

每週問題 February 13, 2017

證明遍歷定理 (ergodic theorem)。

Let A be a unitary matrix, i.e., A^\ast=A^{-1}. Prove that

\displaystyle  \lim_{m\to\infty}\frac{1}{m}\sum_{k=0}^{m-1}A^k\mathbf{x}=P\mathbf{x},

where P is the Hermitian projection matrix onto N(I-A^\ast).

繼續閱讀

張貼在 pow 內積空間, 每週問題 | 標記 , | 1 則迴響

翻轉 LU 分解

本文的閱讀等級:初級

愛因斯坦說[1]:「邏輯可以將你由 A 點帶到 B 點,想像則可以帶你到任何地方。」在我想像的翻轉課堂,學生會先在家裡觀看交大出版社發行的線性代數《教學光碟》,沒有購買光碟的學生則到學校圖書館觀看。在教室的時間,學生跟老師一起交流互動,我們經常以問答方式討論課程內容,但學生與老師的角色對調。底下抄錄一段關於 LU 分解的對話,大家可以體驗翻轉課堂的學習情境。

繼續閱讀

張貼在 線性方程, 線性代數專欄 | 標記 , , | 發表留言

Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 條件

本文的閱讀等級:中級

在優化理論,Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 條件是非線性規劃 (nonlinear programming) 最佳解的必要條件[1]。KKT 條件將 Lagrange 乘數法 (Lagrange multipliers) 所處理涉及束縛等式的約束優化問題推廣至不等式。在實際應用上,KKT 條件 (方程組) 一般不存在代數解,許多優化算法可供數值計算選用[2]。這篇短文從 Lagrange 乘數法推導 KKT 條件並舉一個簡單的例子說明解法。

繼續閱讀

張貼在 特別主題 | 標記 , , | 2 則迴響

每週問題 February 6, 2017

計算多變數高斯積分。

Let A be an n\times n real symmetric positive definite matrix. Prove that

\displaystyle  \int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty e^{-\mathbf{x}^TA\mathbf{x}}dx_1\cdots dx_n=\pi^{n/2}(\det A)^{-1/2},

where \mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)^T.

繼續閱讀

張貼在 pow 二次型, 每週問題 | 標記 , | 發表留言