每週問題 August 29, 2016

證明 Sherman-Morrison-Woodbury 公式的一個特例。

Let A be an m\times m matrix, B be an n\times m matrix and C be an n\times n matrix. If A and C are symmetric positive definite, show the following identities.
(a) (A^{-1}+B^TC^{-1}B)^{-1}B^TC^{-1}=AB^T(BAB^T+C)^{-1}
(b) (A^{-1}+B^TC^{-1}B)^{-1}=A-AB^T(BAB^T+C)^{-1}BA

繼續閱讀

張貼在 pow 線性方程與矩陣代數, 每週問題 | 標記 | 發表留言

每週問題 August 22, 2016

證明一個直覺命題:若一個子空間與線性變換的零空間不交集,則該子空間的像 (image) 的維數等於子空間的維數。

Let \mathcal{V} and \mathcal{W} be finite dimensional vector spaces, and T:\mathcal{V}\to\mathcal{W} be a linear transformation. For a subspace \mathcal{X} of \mathcal{V}, the image T(\mathcal{X})=\{T(\mathbf{x})|\mathbf{x}\in\mathcal{X}\} of \mathcal{X} under T is a subspace of \mathcal{W}. Prove that if \mathcal{X}\cap N(T)=\{\mathbf{0}\}, then \dim T(\mathcal{X})=\dim\mathcal{X}. Note that N(T) denotes the nullspace (kernel) of T.

繼續閱讀

張貼在 pow 線性變換, 每週問題 | 標記 , | 發表留言

每週問題 August 15, 2016

為甚麼 \{\mathbf{0}\} 是一個線性相關集?

Let S=\{\mathbf{0}\} be the set containing only the zero vector.
(a) Explain why S must be linearly dependent.
(b) Explain why the empty set is a basis for S.

繼續閱讀

張貼在 pow 向量空間, 每週問題 | 標記 | 1 則留言

每週問題 August 8, 2016

這是生成空間的一個等價性質。

For a set of vectors S=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}, prove that \hbox{span}(S) is the intersection of all subspaces that contain S.

繼續閱讀

張貼在 pow 向量空間, 每週問題 | 標記 | 發表留言

每週問題 August 1, 2016

利用冪等矩陣 (idempotent matrix) 計算分塊上三角矩陣的冪。

For the matrix

A=\begin{bmatrix}  1&0&0&1/3&1/3&1/3\\  0&1&0&1/3&1/3&1/3\\  0&0&1&1/3&1/3&1/3\\  0&0&0&1/3&1/3&1/3\\  0&0&0&1/3&1/3&1/3\\  0&0&0&1/3&1/3&1/3  \end{bmatrix},

determine A^{300}.

繼續閱讀

張貼在 pow 線性方程與矩陣代數, 每週問題 | 標記 | 發表留言

每週問題 July 25, 2016

證明一個直覺的命題:若所有的 \mathbf{x} 使得 A\mathbf{x}=B\mathbf{x},則 A=B

Suppose that A and B are m\times n complex matrices. If A\mathbf{x}=B\mathbf{x} holds for every \mathbf{x}\in\mathbb{C}^n, prove that A=B.

繼續閱讀

張貼在 pow 線性方程與矩陣代數, 每週問題 | 標記 | 發表留言

每週問題 July 18, 2016

這是關於反對稱矩陣 (skew symmetric matrix) 與反 Hermitian 矩陣的問題。

Prove that each of the following statements is true.
(a) If A=[a_{ij}] is skew symmetric, then a_{ii}=0 for each i.
(b) If A=[a_{ij}] is skew Hermitian, then each a_{ii} is a pure imaginary number.
(c) If A is real and symmetric, then B=\mathrm{i}A is skew Hermitian, where \mathrm{i}=\sqrt{-1}.

繼續閱讀

張貼在 pow 線性方程與矩陣代數, 每週問題 | 標記 , | 發表留言

每週問題 July 11, 2016

判定一個齊次系統的自由變數 (free variable) 的數目。

Suppose that A is the coefficient matrix for a homogeneous system of four equations in six unknowns and suppose that A has at least one nonzero row.
(a) Determine the fewest number of free variables that are possible.
(b) Determine the maximum number of free variables that are possible.

繼續閱讀

張貼在 pow 線性方程與矩陣代數, 每週問題 | 標記 , , | 發表留言

每週問題 July 4, 2016

這是關於列梯形式 (row echelon form) 的問題。

Suppose that \begin{bmatrix}  A|\mathbf{b}\end{bmatrix} is reduced to a matrix \begin{bmatrix}  E|\mathbf{c}  \end{bmatrix}.
(a) Is \begin{bmatrix}  E|\mathbf{c}  \end{bmatrix} in row echelon form if E is?
(b) If \begin{bmatrix}  E|\mathbf{c}  \end{bmatrix} is in row echelon form, must E be in row echelon form?

繼續閱讀

張貼在 pow 線性方程與矩陣代數, 每週問題 | 標記 | 2 則迴響

每週問題 June 27, 2016

給定不可逆矩陣 A,線性方程 A^T\mathbf{x}=\mathbf{b} 是否可能有唯一解?

Let A be an n\times n matrix. If A\mathbf{x}=\mathbf{0} has nonzero solutions, is it possible that A^T\mathbf{x}=\mathbf{b} has a unique solution for some vector \mathbf{b}?

繼續閱讀

張貼在 pow 線性方程與矩陣代數, 每週問題 | 標記 | 發表留言