每週問題 June 26, 2017

對於秩-1方陣 A,證明 \det (A+I)=\hbox{trace}A+1

Let A be an n\times n matrix and \hbox{rank}A=1. Prove that \det (A+I)=\hbox{trace}A+1.

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每週問題 June 19, 2017

證明一個可逆矩陣存在 QR 分解。

Prove that an invertible matrix A can be represented in the form A=QR, where Q is an orthogonal matrix and R is an upper triangular matrix.

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每週問題 June 12, 2017

證明 Gram-Schmidt 正交化定理。

Let \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n be a basis of an inner product space. Prove that there exists an orthogonal basis \mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n such that \mathbf{e}_i\in\hbox{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_i\} for all i=1,\ldots,n.

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每週問題 June 5, 2017

證明 A+A^T 是不可逆矩陣的一個充分條件。

Let A and B be n\times n matrices, where n is an odd number. Prove that if AB=0 then at least one of the matrices A+A^T and B+B^T is singular.

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每週問題 May 29, 2017

這是零空間的包容關係與矩陣乘法的問題。

Let A and B be complex matrices of size m\times n and p\times n, respectively. If N(A)\subset N(B), prove that B=XA for some p\times m matrix X.

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每週問題 May 22, 2017

以伴隨矩陣的行列式表達分塊矩陣的行列式。

Suppose A is n\times n, B is n\times 1, C is 1\times n, and d is a number. Prove that

\begin{vmatrix}  A&B\\  C&d  \end{vmatrix}=d|A|-C(\hbox{adj}A)B.

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每週問題 May 15, 2017

反對稱矩陣的伴隨矩陣 (adjugate) 是對稱或反對稱矩陣。

Let A be an n\times n skew-symmetric matrix. Prove that \hbox{adj}A is a symmetric matrix for odd n and a skew-symmetric matrix for even n.

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每週問題 May 8, 2017

這是關於基底的一個充分條件問題。

Let \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_{n+1} be vectors in \mathbb{R}^n (n\ge 2) such that \mathbf{v}_i^T\mathbf{v}_j<0 for i\neq j. Prove that any n of these vectors form a basis of \mathbb{R}^n.

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每週問題 May 1, 2017

證明嚴格對角佔優 (strictly diagonally dominant) 矩陣是可逆矩陣。

Let A=[a_{ij}] be an n\times n matrix. Prove that if |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}| for i=1,\ldots,n, then A is invertible.

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每週問題 April 24, 2017

證明矩陣積的值域與零空間的維數恆等式。

Let A be an m\times n matrix and B be an n\times p matrix. Prove that

\dim (C(B)\cap N(A))=\dim C(B)-\dim C(AB)=\dim N(AB)-\dim N(B).

Note that C(X) and N(X) denote the column space and nullspace of X, respectively.

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