如何學好線性代數？

線性代數是美國數學教授哈爾莫斯 (Paul R. Halmos) 的專長，他在26歲時出版了一本經典教材《有限維向量空間》(Finite-Dimensional Vector Spaces)。哈爾莫斯在回憶錄《我要做數學家》(I Want to Be a Mathematician) 談到他第一次學習線性代數的悲慘遭遇^[1]：

代數課很難，我讀得很生氣。…當我說生氣，我是真的生氣。Brahana 不知道如何說清楚，我們的教材是 Bôcher 的書 (我認為寫得一團糟)，我花在這個科目的多數時間裡，我的情緒惱火到憤怒。…不知怎麼的，我的線性代數導論最後倖存下來。過了四、五年，在我取得博士學位，聽了諾伊曼 (von Neumann) 講的算子理論後，我才真正開始明白這個科目到底在講甚麼。

為甚麼線性代數這麼難？從哈爾莫斯說的這段話可以歸結兩個原因：第一是老師很爛，第二是課本很糟。如果學習一門科目的兩個重要 (必要？) 條件不是爛就是糟，我們還能冀望學好它嗎？不過話說回來，即使哈爾莫斯的線性代數啟蒙老師是數學大師諾伊曼，哈爾莫斯未必當下就能真正明白線性代數在講甚麼。我說的真正明白不是指考試拿高分，而是有一天你在洗澡時豁然開悟，奔出浴室光著身子在馬路上邊跑邊叫：「啊哈！我明白了！」老實講，我不認為有那個老師或那本教科書可以讓學生「第一次學線代就上手」。真正全面性的理解線性代數需要時間，需要勤奮練習與堅持思考。

每週問題 June 26, 2017

對於秩-1方陣 ，證明 。

Let be an matrix and . Prove that .

每週問題 June 19, 2017

證明一個可逆矩陣存在 QR 分解。

Prove that an invertible matrix can be represented in the form , where is an orthogonal matrix and is an upper triangular matrix.

每週問題 June 12, 2017

證明 Gram-Schmidt 正交化定理。

Let be a basis of an inner product space. Prove that there exists an orthogonal basis such that for all .

每週問題 June 5, 2017

證明 是不可逆矩陣的一個充分條件。

Let and be matrices, where is an odd number. Prove that if then at least one of the matrices and is singular.

每週問題 May 29, 2017

這是零空間的包容關係與矩陣乘法的問題。

Let and be complex matrices of size and , respectively. If , prove that for some matrix .

每週問題 May 22, 2017

以伴隨矩陣的行列式表達分塊矩陣的行列式。

Suppose is , is , is , and is a number. Prove that

.

每週問題 May 15, 2017

反對稱矩陣的伴隨矩陣 (adjugate) 是對稱或反對稱矩陣。

Let be an skew-symmetric matrix. Prove that is a symmetric matrix for odd and a skew-symmetric matrix for even .

每週問題 May 8, 2017

這是關於基底的一個充分條件問題。

Let be vectors in () such that for . Prove that any of these vectors form a basis of .

每週問題 May 1, 2017

證明嚴格對角佔優 (strictly diagonally dominant) 矩陣是可逆矩陣。

Let be an matrix. Prove that if for , then is invertible.

每週問題 April 24, 2017

證明矩陣積的值域與零空間的維數恆等式。

Let be an matrix and be an matrix. Prove that

.

Note that and denote the column space and nullspace of , respectively.