每週問題 December 5, 2016

給定正整數 k,證明任一矩陣 A 可分解為 A=B(B^\ast B)^k

Let A be any n\times n complex matrix. Show that for each positive integer k there exists a unique matrix B such that A=B(B^\ast B)^k.

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每週問題 November 28, 2016

證明半正定矩陣的倒數矩陣為半正定的一個充要條件。

Let A=[a_{ij}] be an n\times n Hermitian and positive semidefinite matrix and B=[b_{ij}] with the property b_{ij}=1/a_{ij}. Show that B is positive semidefinite if and only if \hbox{rank}A=1.

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答DJWS──關於以鏡射變換實現矩陣轉置

網友DJWS留言:

想請教老師一個問題:給定矩陣 A,使用一連串的鏡射變換,變成其轉置 A^T,該如何做呢?

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每週問題 November 21, 2016

證明兩個半正定矩陣之和的行列式大於或等於兩矩陣的行列式之和。

Let A and B be n\times n Hermitian and positive semidefinite matrices. Show that

\det(A+B)\ge \det A+\det B.

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每週問題 November 14, 2016

證明一個常見於多變量統計學的矩陣 I_m-A(A^{\ast}A)^{-1}A^\ast 是半正定。

Let m\ge n and let A be a complex m\times n matrix of rank n. Show that the Hermitian matrix B=I_m-A(A^{\ast}A)^{-1}A^\ast is positive semidefinite.

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每週問題 November 7, 2016

若一個 Hermitian 矩陣的主對角元為其特徵值,則此矩陣是對角矩陣。

Let A=[a_{ij}] be an n\times n Hermitian matrix whose eigenvalues, including multiple appearances, are the diagonal elements a_{ii}, i=1,\ldots,n. Prove that A is diagonal.

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每週問題 October 31, 2016

證明兩冪等矩陣 (idempotent matrix) 之差為冪等矩陣的一個充要條件。

Let A and B be n \times n idempotent matrices, i.e., A^2 = A and B^2 = B. Show that A - B is idempotent if and only if AB = BA = B.

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每週問題 October 24, 2016

對於任一複矩陣 A\hbox{rank}(A^\ast A)=\hbox{rank}(A^TA) 總是成立嗎?

Let A be an m\times n complex matrix. Prove or disprove the following statements.

(a) \hbox{rank}(A^\ast A)=\hbox{rank}A.
(b) \hbox{rank}(A^TA)=\hbox{rank}A.

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每週問題 October 17, 2016

判定一個 Gramian 矩陣 (樣本共變異數矩陣具備此型態) 的可逆性。

Let \mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n be n vectors in \mathbb{R}^m. Show that m\times m Gramian matrix G=\sum_{i=1}^n\mathbf{a}_i\mathbf{a}_i^T is nonsingular if and only if \hbox{span}\{\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n\}=\mathbb{R}^m.

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每週問題 October 10, 2016

若半正定矩陣的一個主對角元等於零,則該列與行的所有元必為零。

Let A=[a_{ij}] be an n\times n Hermitian matrix. If A is positive semidefinite and a_{ii}=0 for some i, show that a_{ij}=a_{ji}=0 for all j.

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