每週問題 May 22, 2017

以伴隨矩陣的行列式表達分塊矩陣的行列式。

Suppose A is n\times n, B is n\times 1, C is 1\times n, and d is a number. Prove that

\begin{vmatrix}  A&B\\  C&d  \end{vmatrix}=d|A|-C(\hbox{adj}A)B.

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每週問題 May 15, 2017

反對稱矩陣的伴隨矩陣 (adjugate) 是對稱或反對稱矩陣。

Let A be an n\times n skew-symmetric matrix. Prove that \hbox{adj}A is a symmetric matrix for odd n and a skew-symmetric matrix for even n.

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每週問題 May 8, 2017

這是關於基底的一個充分條件問題。

Let \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_{n+1} be vectors in \mathbb{R}^n (n\ge 2) such that \mathbf{v}_i^T\mathbf{v}_j<0 for i\neq j. Prove that any n of these vectors form a basis of \mathbb{R}^n.

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每週問題 May 1, 2017

證明嚴格對角佔優 (strictly diagonally dominant) 矩陣是可逆矩陣。

Let A=[a_{ij}] be an n\times n matrix. Prove that if |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}| for i=1,\ldots,n, then A is invertible.

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每週問題 April 24, 2017

證明矩陣積的值域與零空間的維數恆等式。

Let A be an m\times n matrix and B be an n\times p matrix. Prove that

\dim (C(B)\cap N(A))=\dim C(B)-\dim C(AB)=\dim N(AB)-\dim N(B).

Note that C(X) and N(X) denote the column space and nullspace of X, respectively.

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每週問題 April 17, 2017

這是網友范智忠提供的問題

Let A and B be n\times n matrices. If A^2B+BA^2=2ABA, show that (AB-BA)^n=0.

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每週問題 April 10, 2017

計算 I-\mathbf{x}\mathbf{y}^T 的伴隨矩陣。

Let \mathbf{x} and \mathbf{y} be n-dimensional column vectors. Prove that

\hbox{adj}(I-\mathbf{x}\mathbf{y}^T)=\mathbf{x}\mathbf{y}^T+(1-\mathbf{y}^T\mathbf{x})I.

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每週問題 April 3, 2017

找出所有的可交換矩陣。

Find all matrices commuting with E, where E is the matrix all elements of which are equal to 1.

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每週問題 March 27, 2017

若對角矩陣有相異對角元與某個矩陣是可交換的,則該矩陣也是對角矩陣。

Prove the following statements.
(a) Let D=\hbox{diag}(d_1,\ldots,d_n), where d_i are distinct. If AD=DA, then A is a diagonal matrix.
(b) Let D=\hbox{diag}(d_1,\ldots,d_n), where d_i are distinct and nonzero, and N=[n_{ij}] be an n\times n matrix, where n_{ij}=\delta_{i+1,j}. If AD=DA and NDA=AND, then A=aI.

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每週問題 March 20, 2017

證明 A+B 為正規矩陣 (normal matrix) 是一個充分條件。

Let A and B be normal matrices such that C(A)\perp C(B), where C(X) denotes the column space of X. Prove that A+B is a normal matrix. Note that P is a normal matrix if P^\ast P=PP^\ast.

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