每週問題 April 24, 2017

證明矩陣積的值域與零空間的維數恆等式。

Let A be an m\times n matrix and B be an n\times p matrix. Prove that

\dim (C(B)\cap N(A))=\dim C(B)-\dim C(AB)=\dim N(AB)-\dim N(B).

Note that C(X) and N(X) denote the column space and nullspace of X, respectively.

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每週問題 April 17, 2017

這是網友范智忠提供的問題

Let A and B be n\times n matrices. If A^2B+BA^2=2ABA, show that (AB-BA)^n=0.

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每週問題 April 10, 2017

計算 I-\mathbf{x}\mathbf{y}^T 的伴隨矩陣。

Let \mathbf{x} and \mathbf{y} be n-dimensional column vectors. Prove that

\hbox{adj}(I-\mathbf{x}\mathbf{y}^T)=\mathbf{x}\mathbf{y}^T+(1-\mathbf{y}^T\mathbf{x})I.

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每週問題 April 3, 2017

找出所有的可交換矩陣。

Find all matrices commuting with E, where E is the matrix all elements of which are equal to 1.

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每週問題 March 27, 2017

若對角矩陣有相異對角元與某個矩陣是可交換的,則該矩陣也是對角矩陣。

Prove the following statements.
(a) Let D=\hbox{diag}(d_1,\ldots,d_n), where d_i are distinct. If AD=DA, then A is a diagonal matrix.
(b) Let D=\hbox{diag}(d_1,\ldots,d_n), where d_i are distinct and nonzero, and N=[n_{ij}] be an n\times n matrix, where n_{ij}=\delta_{i+1,j}. If AD=DA and NDA=AND, then A=aI.

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每週問題 March 20, 2017

證明 A+B 為正規矩陣 (normal matrix) 是一個充分條件。

Let A and B be normal matrices such that C(A)\perp C(B), where C(X) denotes the column space of X. Prove that A+B is a normal matrix. Note that P is a normal matrix if P^\ast P=PP^\ast.

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每週問題 March 13, 2017

任一正規矩陣 (normal matrix) 可表示為一個正規矩陣的平方。

Let A be a normal matrix, i.e., A^\ast A=AA^\ast. Prove that there exists a normal matrix B such that A=B^2.

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每週問題 March 6, 2017

證明 Hermitian 矩陣的秩與跡數不等式。

Let A be an n\times n nonzero Hermitian matrix. Prove that

\displaystyle  \hbox{rank}A\ge\frac{(\hbox{trace}A)^2}{\hbox{trace}(A^2)}.

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每週問題 February 27, 2017

利用相合 (congruence) 變換證明若 A\succ B\succ 0,則 B^{-1}\succ A^{-1}

Let A and B be Hermitian matrices. We will write that A\succ B if A-B is positive definite. The inequality A\succ 0 means that A is positive definite. Prove that if A\succ B\succ 0, then B^{-1}\succ A^{-1}.

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每週問題 February 20, 2017

證明三階旋轉矩陣的一個跡數恆等式。

Let A be a 3\times 3 real orthogonal matrix and \det A=1. Prove that

(\hbox{trace}A)^2-\hbox{trace}(A^2)=2\,\hbox{trace}A.

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