線性代數是美國數學教授哈爾莫斯 (Paul R. Halmos) 的專長，他在26歲時出版了一本經典教材《有限維向量空間》(Finite-Dimensional Vector Spaces)。哈爾莫斯在回憶錄《我要做數學家》(I Want to Be a Mathematician) 談到他第一次學習線性代數的悲慘遭遇[1]：
代數課很難，我讀得很生氣。…當我說生氣，我是真的生氣。Brahana 不知道如何說清楚，我們的教材是 Bôcher 的書 (我認為寫得一團糟)，我花在這個科目的多數時間裡，我的情緒惱火到憤怒。…不知怎麼的，我的線性代數導論最後倖存下來。過了四、五年，在我取得博士學位，聽了諾伊曼 (von Neumann) 講的算子理論後，我才真正開始明白這個科目到底在講甚麼。
為甚麼線性代數這麼難？從哈爾莫斯說的這段話可以歸結兩個原因：第一是老師很爛，第二是課本很糟。如果學習一門科目的兩個重要 (必要？) 條件不是爛就是糟，我們還能冀望學好它嗎？不過話說回來，即使哈爾莫斯的線性代數啟蒙老師是數學大師諾伊曼，哈爾莫斯未必當下就能真正明白線性代數在講甚麼。我說的真正明白不是指考試拿高分，而是有一天你在洗澡時豁然開悟，奔出浴室光著身子在馬路上邊跑邊叫：「啊哈！我明白了！」老實講，我不認為有那個老師或那本教科書可以讓學生「第一次學線代就上手」。真正全面性的理解線性代數需要時間，需要勤奮練習與堅持思考。
，證明 
。
matrix and 
. Prove that 
, where 
is an orthogonal matrix and 
is an upper triangular matrix.
be a basis of an inner product space. Prove that there exists an orthogonal basis 
such that 
for all 
.
是不可逆矩陣的一個充分條件。
be 
is an odd number. Prove that if 
then at least one of the matrices 
is singular.
and 
, respectively. If 
, prove that 
for some 
matrix 
.
, 
is 
, and 
is a number. Prove that
.
is a symmetric matrix for odd 
be vectors in 
(
) such that 
for 
. Prove that any ![A=[a_{ij}]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=A%3D%5Ba_%7Bij%7D%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "A=[a_{ij}]")
be an 
for 
matrix. Prove that
.
and 
denote the column space and nullspace of 
