Category Archives: 應用之道

本文的閱讀等級：中級 令 為一個無向圖 (undirected graph)，其中 是頂點集合， 稱為圖 的階 (order)， 是無向邊集合。若頂點 和 之間存在一邊，記為 ，我們稱 和 鄰接 (adjacent)，並稱該邊與二頂點有關聯 (incident)。無向邊不具方向性， 是兩頂點組成的集合，即每一邊可視為一無序頂點對。以下考慮簡單無向圖，意思是不存在自迴路 (self-loop)，即 ，且不存在重邊 (multiedge)，即任二相異頂點至多僅存在一關聯邊。對應 階圖 ，鄰接矩陣 為一 階矩陣，定義如下： 若 ，否則 (見“線性代數在圖論的應用 (一)：鄰接矩陣”)。顯然，， 是一對稱矩陣。表面上，鄰接矩陣是一圖的最自然的表示方式，但它的實用價值卻不大，原因在於鄰接矩陣的特徵值和特徵向量未能揭露圖結構的重要訊息，此外，鄰接矩陣的二次型亦缺乏明確的涵義。本文介紹一種適於建立矩陣譜 (相異特徵值集合，spectrum) 理論的無向圖表示矩陣，稱為拉普拉斯矩陣 (Laplacian)。對於頂點 ，分支度 (度數，degree) 是所有與 有關聯的邊數，即鄰接矩陣 的第 列 (或行) … Continue reading →

網友Regan Yuan留言： 老师您好，首先对您以往的支持和耐心详细的讲解，表示由衷的敬意和感谢！再次虚心请教老师一个问题，对于采用singular value decomposition的principal components analysis算法，最近总是有些搞不清，能否提供一个具体的例子呢？比如下面这个问题：五个学生 (5 cases or observations) 的跳高，跳远，乒乓球三门具有相关性的体育成绩 (3 variables or dimensions) 的 矩阵， ， 用PCA进行降维度，具体解决方法如何？请明示，谢谢您！祝您开心每一天！

本文的閱讀等級：初級 三角形的四心是指重心 (centroid)、內心 (incenter)、外心 (circumcenter) 和垂心 (orthocenter)。給定平面上三角形的三個頂點座標，現行的高中解析幾何多採用向量方法求三角形的四心，本文介紹一個少見的解法：利用直線的行列式表達式推導三角形的四心座標公式。

本文的閱讀等級：初級 給定平面上的兩點 和 ，如何求出穿越此兩點的直線？如果你是一位行列式迷，那麼必定知曉這個神奇的公式： 。 展開並化簡，可得直線方程式 。本文以這個簡單的例子作為引子，介紹如何利用行列式求平面上穿越兩點的直線、空間中包含三點的平面，以及平面上穿越三點的圓。

本文的閱讀等級：初級 梅林 (Merlin) 是美國 Parker Brothers 公司於1978年生產的一款掌上型遊戲機 (見圖)，內含六種益智遊戲，魔術方塊是其中之一[1]。遊戲機面板設有九個按鍵，布置成 陣列。每一個按鍵內裝一顆LED燈泡，燈號有兩種：閃爍或熄滅。按下任一按鍵可切換燈號，同時鄰近的按鍵燈號也一併自動切換。設 表示切換按鍵， 表示鄰近按鍵， 表示非鄰近按鍵。每一切換按鍵的鄰近按鍵定義如下： 遊戲開始時，系統產生一組隨機圖案，遊戲的目的要將初始圖案變換為生產商預設的目標圖案──除中心按鍵外，所有的周邊按鍵都在閃爍狀態。梅林魔術方塊的遊戲規則存在多樣的變化，譬如，目標圖案可以任意設定。往下閱讀前，建議讀者先體會遊戲過程。請進入線上梅林魔術方塊遊戲網站 Merlin Magic Square Game，畫面左邊顯示目標圖案，先點選方框設計個人喜好的圖案 (打勾代表燈號閃爍)。按下“Enjoy new game”，畫面右邊即出現隨機圖案，點選右圖的方框切換燈號，直到產生與左圖相同的圖案即告獲勝。

本文的閱讀等級：中級 英國統計學家、演化生物學家與遺傳學家費雪 (Ronald Fisher) 是現代統計學的創建者之一。今天我們使用的許多統計方法，例如，變異數分析 (方差分析，簡稱ANOVA)、最大似然估計與費雪線性判別等，都是他的發明貢獻。本文要探討的主題是在實驗設計時碰到的一個組合數學問題。考慮包含 個元素的集合 。令 為 的 個相異非空子集合。令 代表一集合 的基數 (cardinal number)，即所包含的元素個數。 費雪不等式：若所有的 滿足 ，則 。 費雪的原始論文以組合數學解釋[1]，本文討論多種線性代數證法，使用的基本工具包括矩陣秩、行列式、特徵值、線性獨立與正定 (類似應用見“有限體與模算術”)。