辛普森悖論──違反直覺的奇怪現象

想像你面前有三張桌子 (點選圖片可放大檢視)，每張桌上都放了一個黃罐子和一個藍罐子。1 號桌上的黃罐子裡有 5 顆白球和 4 顆紅球，藍罐子裡有 4 顆白球和 3 顆紅球。其他桌上罐子裡的白球和紅球個數如括弧裡的數字所示。你走到每張桌子前，各有一次抽球的機會，你希望能夠抽出白球。

 
你要選擇 1 號桌上的哪個罐子？若選擇黃罐子，抽中白球的機率是 5/9，若選擇藍罐子，抽中白球的機率是 4/7。因為 5/9 < 4/7，毫無疑問，當然要選藍罐子。接著站在 2 號桌前，你仍然應該選擇藍罐子，因為 3/9 < 5/14。

 
最後是 3 號桌，注意，3 號桌的黃罐子和藍罐子裡的球分別由 1 號桌與 2 號桌的對應顏色罐子收集而來 (譬如，黃罐子裡有 8 顆白球，其中 5 顆來自 1 號桌的黃罐子，3 顆來自 2 號桌的黃罐子)。同樣的問題，你要選擇哪個罐子？

 
計算後發現：8/18 > 9/21，大小方向反過來了！這回黃罐子抽中白球的機率大於藍罐子抽中白球的機率！

 
這個現象稱做「辛普森悖論 (Simpson’s paradox)」，意指「在分組比較中都佔優勢的一方，在總合比較時反而是失勢的一方」。此現象早於 20 世紀初便有人討論，1951 年英國統計學家 Edward H. Simpson 始正式描述此現象，之後便以他的名字來命名此悖論。

 
辛普森悖論發生的原因是兩分組資料量差異很大 (1 號桌總球數小於 2 號桌的球數)，而且數據分配與其比率相反 (1 號桌黃罐子的白球數 5 大於藍罐子的白球數 4，但從黃罐子抽中白球的機率 5/9 小於從藍罐子抽中白球的機率 4/7)。

 
將上述抽球問題延伸至現實情境，譬如我想要從修課學生的成績來探究「建構式數學是否使學生的數學程度下滑」，假設 1 號桌是電機系學生的班級，2 號桌是非電機系學生的班級，黃罐子是大一學生 (首屆接受建構式教學)，藍罐子是大二學生 (未接受建構式教學)，紅球表示不及格學生，白球表示及格學生。(為了讓數字看起來較具說服力，我們可以令每個罐子的球數都增大 5 倍。)

 
從電機系和非電機系兩班學生成績都可推論出「教改白老鼠數學程度變差」，但是如果將兩班成績合併，卻得到相反的結論：「教改白老鼠數學程度轉優」。辛普森悖論說明了由兩個變數的相關性並不能推論其因果關係，可能是其他效果更強的隱藏變數影響了學生成績，譬如，電機系學生和非電機系學生之間的差異，或大二學生較大一學生更具優勢等等。

 
想閱讀更多辛普森悖論的實例，請參考維基百科網頁：http://en.wikipedia.org/wiki/Simpson’s_paradox