線代入道要門論

Posted on 04/26/2010 by ccjou

序

線性代數者，代數之支也。此學究方程解而來，以結構為本，空間為體，變換為法，演算為用耳[一]。凡學者斷不可不知，而亦至不易究也；蓋其體系洸洋瑰麗，理論精微博大，匯泰西疇人（註一）之大略，集百家藝學（註二）之菁華。初，制定義，設公理；及後，論證明，演算法。徐光啟曰：「不用為用，眾用所基。」線代一門，取經用宏，肆應不窮，可謂當今應數之大功，算學之大成耳。是故銳心學者當奮不顧身，戮力鑽研，索理究解，切毋思逸而廢焉。

今之數學源于西洋，言事體例殊異華夏。維基大典記曰[二]：「蓋當今之世，數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事。舉本文為例，甲（A）之示，即文句以甲代一物，算式以A代之，以合文言、數學，則無論文理之人，咸可明之也。」文言簡練，古典雍容，故宜講談數學，格物窮理。然私竊不遜，未通其道，遂網搜谷歌，探徵維基，頓獲貼文數篇，特採錄之。顧選文散落舛雜，迄無定本，是以不揣荒陋，研核擘析，刪其遊辭，取其典實，裨補疎遺，引致旁徵，務使義理通達而群可閱之也。經涉一宿，幸可成卷，凡三篇，名曰「線代入道要門論」。

一 矢量空間

矢量空間者，歐幾里得空間之引伸也，亦曰線性空間、向量空間，究之者，線性代數也[二]。

定義

矢量空間者，交換群（ $\mathcal{V}$ ）也，其物曰矢量或向量，合一域（ $\mathcal{F}$ ），曰標量域，其物曰標量或純量。交換群者，乘法合交換律之群也，故矢量可以加法謂之。矢量加法者，矢量加矢量得矢量（ $\mathcal{V}+\mathcal{V}\rightarrow\mathcal{V}$ ）。矢量合標量有標量乘法。標量乘法者，標量乘矢量得矢量（ $\mathcal{F}\times\mathcal{V}\rightarrow\mathcal{V}$ ）。矢量加法與標量乘法必以下是從（網連“同構的向量空間”）：

■ 矢量甲乙之和，同乎乙甲之和（ $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{y}+\mathbf{x}$ ），曰交換律。

■ 矢量甲乙之和加矢量丙，同乎甲加乙丙和（ $(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z}=\mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$ ），曰加法結合律。

■ 矢量單位元曰零（ $\mathbf{0}$ ），零加甲得甲（ $\mathbf{0}+\mathbf{x}=\mathbf{x}$ ）。

■ 矢量逆改曰負，甲必有一負甲，其和為零（ $\mathbf{x}+(-\mathbf{x})=\mathbf{0}$ ）。

■ 標量甲乙之積乘矢量丙，同乎甲乘乙丙之積（ $(\alpha\beta)\mathbf{x}=\alpha(\beta\mathbf{x})$ ），曰乘法結合律。

■ 標量一乘矢量甲得甲（ $1\cdot\mathbf{x}=\mathbf{x}$ ）。

■ 標量甲乘矢量乙丙之和，同乎甲乙積加甲丙積（ $\alpha(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\alpha\mathbf{x}+\alpha\mathbf{y}$ ），曰分配律。

■ 標量甲乙之和乘矢量丙，同乎甲丙積加乙丙積（ $(\alpha+\beta)\mathbf{x}=\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{x}$ ），亦曰分配律。

若標量為實數，曰實矢量空間。若標量為複數，曰複矢量空間。矢量空間之最小生成集，曰基。基之大小，曰維數。

例

域直積（ $\mathcal{F}^n$ ），域之物為標量，維數為域之數（ $n$ ）。

多項式集，實數為標量，維數無窮。

二 範空間

範空間者，範之所也。夫範，物之長也[三]。

定義

範空間者，實矢量空間或複矢量空間也，凡矢量（ $\mathbf{x}$ ），略稱物，必有一數，曰範（ $\Vert\mathbf{x}\Vert$ ）。凡範者，必以下是從（網連“矩陣範數”）：

■ 範者，非負也（ $\Vert\mathbf{x}\Vert\ge 0$ ）。範為零者，零也（ $\Vert\mathbf{x}\Vert=0\Leftrightarrow\mathbf{x}=\mathbf{0}$ ）。

■ 標量乘物之範，同乎標量之絕對值乘物之範（ $\Vert\alpha\mathbf{u}\Vert=\vert\alpha\vert\cdot\Vert\mathbf{u}\Vert$ ）。

■ 二物和之範，不大於物範之和矣（ $\Vert\mathbf{u}+\mathbf{v}\Vert\le\Vert\mathbf{u}\Vert+\Vert\mathbf{v}\Vert$ ）。此謂三角不等式也。

二物其差之範，度量也（ $d(\mathbf{u},\mathbf{v})=\Vert\mathbf{u}-\mathbf{v}\Vert$ ）。故範空間實度量空間也。

例

歐幾里得空間者，高維實空間（ $\mathbb{R}^n$ ）合一範也。凡一點，合其各部之方，取開方，則得歐幾里得範（ $\Vert\mathbf{x}\Vert=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}$ ）。

三 內積空間

內積空間者，矢量空間合一內積也。夫內積者，關乎範、角也。凡物之範與二物所交之角，可由內積定之[四]。

定義

凡二物必有一數，曰內積（ $\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle$ ）。凡內積者，必以下是從（網連“內積的定義”）：

■ 矢量甲乙之內積，同乎乙甲內積之軛（ $\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle=\overline{\left\langle\mathbf{y},\mathbf{x}\right\rangle}$ ）。

■ 矢量甲與乙丙和之內積，同乎甲乙與甲丙內積之和（ $\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}+\mathbf{z}\right\rangle=\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle+\left\langle\mathbf{x},\mathbf{z}\right\rangle$ ）。

■ 矢量甲與標量丙乘矢量乙之內積，同乎丙乘甲乙之內積（ $\left\langle\mathbf{x},\alpha\mathbf{y}\right\rangle=\alpha\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle$ ）。

■ 物與己之內積，非負也（ $\left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle\ge 0$ ）。零者，零也（ $\left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle=0\Leftrightarrow\mathbf{x}=\mathbf{0}$ ）。

物與己內積開方，範也（ $\Vert\mathbf{x}\Vert=\sqrt{\left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle}$ ）。故內積空間必範空間也。

例

歐幾里得空間，取二物，合各部之積，曰點積（ $\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=x_1y_1+\cdot+x_ny_n$ ）。二物點積除其範之積，求餘弦之逆，曰二物之夾角也（ $\theta=\mathrm{cos}^{-1}\left(\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}}{\Vert\mathbf{x}\Vert~\Vert\mathbf{y}\Vert}\right)$ ）。

實多項式之集，取二物，其積之有限積分（ $\left\langle x(t),y(t)\right\rangle=\int_{0}^{1}x(t)y(t)dt$ ），亦內積也。

跋

太史公曰：「蓋西伯拘而演周易；仲尼厄而作春秋；屈原放逐，乃賦離騷；左丘失明，厥有國語；孫子臏腳，兵法修列；不韋遷蜀，世傳呂覽；韓非囚秦，說難孤憤；詩三百篇，大抵聖賢發憤之所為作也。此人皆意有所鬱結，不得通其道，故述往事，思來者。」余作入道要門，論次其文（註三），既非意有所鬱結，亦不思垂空文以自見（註四），實乃興會之所屬也。蓋余居新竹山陰，蒼梧之野，是日朝雨夕煙，四望茫然。時飯飽酒足，烹茶品茗，興之所至，几案網遊，撫筆電，擊鍵盤，為文自娛，公諸同好，良為快事矣。

誌于庚寅年三月十一（公曆二〇一〇年四月二十四日）。

註

一：精於天文曆算之學者，或謂數學家。

二：數學者，古六藝之一也。

三：採集編修，固無創新耳。

四：垂之青簡，照耀千秋。

引據

維基大典有云：「凡我維基之文，悉為共享創意授權。翻印增刪，皆須引據，並同道為之。」若所刪節補訂者，刊本具存，豈妨繙讀。

[一]：http://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B8

[二]：http://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E7%9F%A2%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%96%93

[三]：http://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E7%AF%84%E7%A9%BA%E9%96%93

[四]：http://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A7%E7%A9%8D%E7%A9%BA%E9%96%93

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16 Responses to 線代入道要門論

Watt Lin says:

04/26/2010 at 12:56 pm

拜讀大俠妙文，爽快！爽快！

Reply
Watt Lin says:

04/26/2010 at 12:59 pm

結構為「本」，空間為「體」，變換為「法」，演算為「用」。

請問大俠，何者為「相」？

Reply
ccjou says:

04/26/2010 at 2:50 pm

心經曰：「諸法空相。」試舉一例，矩陣何也？一曰：「矩陣者，矢量也。矩陣集必矢量空間也。」一曰：「矩陣者，函數也。矩陣乃線性變換也。」

《六祖壇經》師（六祖惠能）一日思惟：「時當弘法，不可終避。」遂出至廣州法性寺；值印宗法師講涅槃經。因二僧論風幡義，一曰風動，一曰幡動，議論不已。師進曰：「不是風動，不是幡動，仁者心動。」

蓋迷之即垢，悟之即淨，縱之即凡，修之即聖。善線代之法，不著相、勤用功而已矣。

Reply
Watt Lin says:

04/26/2010 at 6:34 pm

好，我同意，不著相。

金剛經：「凡所有相，皆是虛妄！」

Reply
ccjou says:

04/27/2010 at 8:14 am

不著相是大道理，說的容易，行之困難。學者難免為相所惑，譬如， $A\mathbf{x}$ 究竟為何？
(1) 可以視為聯立方程等號左側的表述，則 $A$ 為係數矩陣， $\mathbf{x}$ 為未知數向量；
(2) 可以讀作 $A$ 的行向量之線性組合，則 $\mathbf{x}$ 各元為組合權重；
(3) 可以看成 $\mathbf{x}$ 經變換矩陣 $A$ 映射得到的像，則 $\mathbf{x}$ 為輸入向量。

經曰：「見見之時，見非是見，見猶離見，見不能及。」（見見的大家頭昏腦脹！）線性代數難學之處，原因可能在於相不斷隨著情境而變，既非一定，故言之虛妄。

Reply
levinc417 says:

02/07/2012 at 6:37 am

沒討論區發問，提在底下:
$$$$ 是$$R^n$$中標準內積，且 $$||a||^2 = $$, $$S:= \{a\in R^n | ||a|| = 1\}$$. 令 $$A$$是nxn 實方陣，且考慮 $$f(x) = $$, $$x \in S$$。假設 $$a\in S$$, 存在一正數 $$\delta > 0 $$, 使得 $$f(a) \geq f(x)$$, 對所有 $$x\in S$$ 滿足 $$||x-a|| < \delta$$。那麼我們可以說: $$f(a)\geq f(x)$$ 對所有 $$x\in S$$ 成立嗎？ prove or disprove it.

找到一個反例: $$A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0& 0 & 0
\end{bmatrix}$$, $$x=[1, 0, 0]$$, $$a=[1/\sqrt{3}, \sqrt{2}/\sqrt{3}, 0]$$.
這樣可以嗎？有誤解題目意思嗎？

Reply
levinc417 says:

02/07/2012 at 6:47 am

疑…竟然張貼失敗…..有些符號還消失~@@”
$ $ 是$ R^n $中標準內積，且 $ ||a||^2 = $, $ S:= \{a\in R^n | ||a|| = 1\} $. 令 $ A $是nxn 實方陣，且考慮 $ f(x) = $, $ x \in S $。假設 $ a\in S $, 存在一正數 $ \delta > 0 $, 使得 $ f(a) \geq f(x) $, 對所有 $ x\in S $ 滿足 $ ||x-a|| < \delta $。那麼我們可以說: $ f(a) \geq f(x) $ 對所有 $ x\in S $ 成立嗎？ prove or disprove it.

找到一個反例: \[ A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0& 0 & 0
\end{bmatrix} \], $$ x=[1, 0, 0] $$, $$ a=[1/\sqrt{3}, \sqrt{2}/\sqrt{3}, 0] $$.
這樣可以嗎？有誤解題目意思嗎？

Reply
- ccjou says:
  
  02/07/2012 at 7:10 am
  
  wordpress.com 的 LaTeX 語法和傳統不同，請參閱
  https://ccjou.wordpress.com/2012/01/16/%E5%A6%82%E4%BD%95%E5%9C%A8%E8%BF%B4%E9%9F%BF%E5%8D%80%E8%BC%B8%E5%85%A5%E6%95%B8%E5%AD%B8%E7%AC%A6%E8%99%9F/
  我將問題改好如下:
  
  $\left\langle ~,~\right\rangle$ 是 $R^n$ 中標準內積，且 $\Vert a\Vert^2=\left\langle a,a\right\rangle$ , $S=\{a\in R^n \vert \Vert a\Vert = 1\}$ . 令 $A$ 是 nxn 實方陣，且考慮 $f(x) =$ , $x\in S$ 。假設 $a \in S$ , 存在一正數 $\delta > 0$ , 使得 $f(a) \geq f(x)$ , 對所有 $x\in S$ 滿足 $\Vert x-a\Vert < \delta$ 。那麼我們可以說: $f(a) \geq f(x)$ 對所有 $x\in S$ 成立嗎？ prove or disprove it.
  
  找到一個反例:
  $A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0& 0 & 0 \end{bmatrix}$ , $x=[1, 0, 0]$ , $a=[1/\sqrt{3}, \sqrt{2}/\sqrt{3}, 0]$ .
  這樣可以嗎？有誤解題目意思嗎？
  
  問題中 f(x)=? 後面還有東西嗎？
  
  Reply
  - levinc417 says:
    
    02/07/2012 at 7:16 am
    
    有，只要是內積符號內的都不見了! 『a, b內積』是標準內積，…，||a||^2 = a, a內積，…，考慮 f(x)= x, Ax內積,….
    
    Reply
levinc417 says:

02/07/2012 at 6:56 am

再試下去會有洗版之嫌 orz……希望老師看得懂我的題目 >_<~
消失的部分: 是標準內積，……………., ||a||^2 = ,……., 考慮f(x)= ,….

Reply
levinc417 says:

02/07/2012 at 7:14 am

好怪! 內積符號$$ $$ 出不來耶~ 上面指: “a, b內積”是標準內積，…，”||a||^2 = a, a內積”，…，考慮”f(x)= x, Ax內積”，……

老師真不好意思，不知怎麼修改迴響，佔了一堆版面…

Reply
- ccjou says:
  
  02/07/2012 at 7:17 am
  
  標準內積語法是 a^{\prime}b， $a^{\prime}b$ ，而 $f(x)=x^{\prime}Ax$ 。
  
  是這樣嗎?
  
  Reply
  - levinc417 says:
    
    02/07/2012 at 7:26 am
    
    我上面是打內積符號: “左括、右括 “出不來 ……不過一樣啦^^
    
    Reply
ccjou says:

02/07/2012 at 7:31 am

重寫一次問題如下，請 levinc417確定後再回覆。

$a^Tb$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中標準內積，且 $\Vert a\Vert^2=a^Ta$ , $S=\{a\in \mathbb{R}^n \vert \Vert a\Vert = 1\}$ 。令 $A$ 是 $n\times n$ 實方陣，且考慮 $f(x) = x^TAx$ ， $x\in S$ 。假設 $a \in S$ ，存在一正數 $\delta > 0$ ，使得 $f(a) \geq f(x)$ ，對所有 $x\in S$ 滿足 $\Vert x-a\Vert < \delta$ 。那麼我們可以說: $f(a) \geq f(x)$ 對所有 $x\in S$ 成立嗎？ prove or disprove it.

找到一個反例:
$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0& 0 & 0 \end{bmatrix}$ , $x=[1, 0, 0]^T$ , $a=[1/\sqrt{3}, \sqrt{2}/\sqrt{3}, 0]^T$ .
這樣可以嗎？有誤解題目意思嗎？

Reply
- levinc417 says:
  
  02/07/2012 at 7:36 am
  
  ok. 麻煩老師了
  
  Reply
  - ccjou says:
    
    02/07/2012 at 7:39 am
    
    不客氣。
    
    先去吃點東西，到辦公室再說了。
    
    Reply

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