線代入道要門論

線性代數者,代數之支也。此學究方程解而來,以結構為本,空間為體,變換為法,演算為用耳[一]。凡學者斷不可不知,而亦至不易究也;蓋其體系洸洋瑰麗,理論精微博大,匯泰西疇人(註一)之大略,集百家藝學(註二)之菁華。初,制定義,設公理;及後,論證明,演算法。徐光啟曰:「不用為用,眾用所基。」線代一門,取經用宏,肆應不窮,可謂當今應數之大功,算學之大成耳。是故銳心學者當奮不顧身,戮力鑽研,索理究解,切毋思逸而廢焉。

 
今之數學源于西洋,言事體例殊異華夏。維基大典記曰[二]:「蓋當今之世,數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事。舉本文為例,甲(A)之示,即文句以甲代一物,算式以A代之,以合文言、數學,則無論文理之人,咸可明之也。」文言簡練,古典雍容,故宜講談數學,格物窮理。然私竊不遜,未通其道,遂網搜谷歌,探徵維基,頓獲貼文數篇,特採錄之。顧選文散落舛雜,迄無定本,是以不揣荒陋,研核擘析,刪其遊辭,取其典實,裨補疎遺,引致旁徵,務使義理通達而群可閱之也。經涉一宿,幸可成卷,凡三篇,名曰「線代入道要門論」。

 
矢量空間

矢量空間者,歐幾里得空間之引伸也,亦曰線性空間、向量空間,究之者,線性代數也[二]。

定義

矢量空間者,交換群(\mathcal{V})也,其物曰矢量或向量,合一域(\mathcal{F}),曰標量域,其物曰標量或純量。交換群者,乘法合交換律之群也,故矢量可以加法謂之。矢量加法者,矢量加矢量得矢量(\mathcal{V}+\mathcal{V}\rightarrow\mathcal{V})。矢量合標量有標量乘法。標量乘法者,標量乘矢量得矢量(\mathcal{F}\times\mathcal{V}\rightarrow\mathcal{V})。矢量加法與標量乘法必以下是從(網連“同構的向量空間”):

矢量甲乙之和,同乎乙甲之和(\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{y}+\mathbf{x}),曰交換律。

矢量甲乙之和加矢量丙,同乎甲加乙丙和((\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z}=\mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})),曰加法結合律。

矢量單位元曰零(\mathbf{0}),零加甲得甲(\mathbf{0}+\mathbf{x}=\mathbf{x})。

矢量逆改曰負,甲必有一負甲,其和為零(\mathbf{x}+(-\mathbf{x})=\mathbf{0})。

標量甲乙之積乘矢量丙,同乎甲乘乙丙之積((\alpha\beta)\mathbf{x}=\alpha(\beta\mathbf{x})),曰乘法結合律。

標量一乘矢量甲得甲(1\cdot\mathbf{x}=\mathbf{x})。

標量甲乘矢量乙丙之和,同乎甲乙積加甲丙積(\alpha(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\alpha\mathbf{x}+\alpha\mathbf{y}),曰分配律。

標量甲乙之和乘矢量丙,同乎甲丙積加乙丙積((\alpha+\beta)\mathbf{x}=\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{x}),亦曰分配律。

若標量為實數,曰實矢量空間。若標量為複數,曰複矢量空間。矢量空間之最小生成集,曰基。基之大小,曰維數。

域直積(\mathcal{F}^n),域之物為標量,維數為域之數(n)。

多項式集,實數為標量,維數無窮。

 
範空間

範空間者,範之所也。夫範,物之長也[三]。

定義

範空間者,實矢量空間或複矢量空間也,凡矢量(\mathbf{x}),略稱物,必有一數,曰範(\Vert\mathbf{x}\Vert)。凡範者,必以下是從(網連“矩陣範數”):

範者,非負也(\Vert\mathbf{x}\Vert\ge 0)。範為零者,零也(\Vert\mathbf{x}\Vert=0\Leftrightarrow\mathbf{x}=\mathbf{0})。

標量乘物之範,同乎標量之絕對值乘物之範(\Vert\alpha\mathbf{u}\Vert=\vert\alpha\vert\cdot\Vert\mathbf{u}\Vert)。

二物和之範,不大於物範之和矣(\Vert\mathbf{u}+\mathbf{v}\Vert\le\Vert\mathbf{u}\Vert+\Vert\mathbf{v}\Vert)。此謂三角不等式也。

二物其差之範,度量也(d(\mathbf{u},\mathbf{v})=\Vert\mathbf{u}-\mathbf{v}\Vert)。故範空間實度量空間也。

歐幾里得空間者,高維實空間(\mathbb{R}^n)合一範也。凡一點,合其各部之方,取開方,則得歐幾里得範(\Vert\mathbf{x}\Vert=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2})。

 
內積空間

內積空間者,矢量空間合一內積也。夫內積者,關乎範、角也。凡物之範與二物所交之角,可由內積定之[四]。

定義

凡二物必有一數,曰內積(\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle)。凡內積者,必以下是從(網連“內積的定義”):

矢量甲乙之內積,同乎乙甲內積之軛(\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle=\overline{\left\langle\mathbf{y},\mathbf{x}\right\rangle})。

矢量甲與乙丙和之內積,同乎甲乙與甲丙內積之和(\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}+\mathbf{z}\right\rangle=\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle+\left\langle\mathbf{x},\mathbf{z}\right\rangle)。

矢量甲與標量丙乘矢量乙之內積,同乎丙乘甲乙之內積(\left\langle\mathbf{x},\alpha\mathbf{y}\right\rangle=\alpha\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle)。

物與己之內積,非負也(\left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle\ge 0)。零者,零也(\left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle=0\Leftrightarrow\mathbf{x}=\mathbf{0})。

物與己內積開方,範也(\Vert\mathbf{x}\Vert=\sqrt{\left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle})。故內積空間必範空間也。

歐幾里得空間,取二物,合各部之積,曰點積(\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=x_1y_1+\cdot+x_ny_n)。二物點積除其範之積,求餘弦之逆,曰二物之夾角也(\theta=\mathrm{cos}^{-1}\left(\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}}{\Vert\mathbf{x}\Vert~\Vert\mathbf{y}\Vert}\right))。

實多項式之集,取二物,其積之有限積分(\left\langle x(t),y(t)\right\rangle=\int_{0}^{1}x(t)y(t)dt),亦內積也。

 

太史公曰:「蓋西伯拘而演周易;仲尼厄而作春秋;屈原放逐,乃賦離騷;左丘失明,厥有國語;孫子臏腳,兵法修列;不韋遷蜀,世傳呂覽;韓非囚秦,說難孤憤;詩三百篇,大抵聖賢發憤之所為作也。此人皆意有所鬱結,不得通其道,故述往事,思來者。」余作入道要門,論次其文(註三),既非意有所鬱結,亦不思垂空文以自見(註四),實乃興會之所屬也。蓋余居新竹山陰,蒼梧之野,是日朝雨夕煙,四望茫然。時飯飽酒足,烹茶品茗,興之所至,几案網遊,撫筆電,擊鍵盤,為文自娛,公諸同好,良為快事矣。

誌于庚寅年三月十一(公曆二〇一〇年四月二十四日)。

 

一:精於天文曆算之學者,或謂數學家。

二:數學者,古六藝之一也。

三:採集編修,固無創新耳。

四:垂之青簡,照耀千秋。

 
引據

[一]:http://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B8

[二]:http://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E7%9F%A2%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%96%93

[三]:http://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E7%AF%84%E7%A9%BA%E9%96%93

[四]:http://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A7%E7%A9%8D%E7%A9%BA%E9%96%93

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16 則回應給 線代入道要門論

  1. Watt Lin 說:

    拜讀大俠妙文,爽快!爽快!

  2. Watt Lin 說:

    結構為「本」,空間為「體」,變換為「法」,演算為「用」。

    請問大俠,何者為「相」?

  3. ccjou 說:

    心經曰:「諸法空相。」試舉一例,矩陣何也?一曰:「矩陣者,矢量也。矩陣集必矢量空間也。」一曰:「矩陣者,函數也。矩陣乃線性變換也。」

    《六祖壇經》師(六祖惠能)一日思惟:「時當弘法,不可終避。」遂出至廣州法性寺;值印宗法師講涅槃經。因二僧論風幡義,一曰風動,一曰幡動,議論不已。師進曰:「不是風動,不是幡動,仁者心動。」

    蓋迷之即垢,悟之即淨,縱之即凡,修之即聖。善線代之法,不著相、勤用功而已矣。

  4. Watt Lin 說:

    好,我同意,不著相。

    金剛經:「凡所有相,皆是虛妄!」

  5. ccjou 說:

    不著相是大道理,說的容易,行之困難。學者難免為相所惑,譬如,A\mathbf{x} 究竟為何?
    (1) 可以視為聯立方程等號左側的表述,則 A 為係數矩陣,\mathbf{x} 為未知數向量;
    (2) 可以讀作 A 的行向量之線性組合,則 \mathbf{x} 各元為組合權重;
    (3) 可以看成 \mathbf{x} 經變換矩陣 A 映射得到的像,則 \mathbf{x} 為輸入向量。

    經曰:「見見之時,見非是見,見猶離見,見不能及。」(見見的大家頭昏腦脹!)線性代數難學之處,原因可能在於相不斷隨著情境而變,既非一定,故言之虛妄。

  6. levinc417 說:

    再試下去會有洗版之嫌 orz……希望老師看得懂我的題目 >_<~
    消失的部分: 是標準內積,……………., ||a||^2 = ,……., 考慮f(x)= ,….

  7. levinc417 說:

    好怪! 內積符號$$ $$ 出不來耶~ 上面指: “a, b內積"是標準內積,…,"||a||^2 = a, a內積",…,考慮"f(x)= x, Ax內積",……

    老師真不好意思,不知怎麼修改迴響,佔了一堆版面…

  8. ccjou 說:

    重寫一次問題如下,請 levinc417確定後再回覆。

    a^Tb\mathbb{R}^n 中標準內積,且 \Vert a\Vert^2=a^Ta, S=\{a\in \mathbb{R}^n \vert \Vert a\Vert = 1\}。令 An\times n 實方陣,且考慮 f(x) = x^TAxx\in S。假設 a \in S,存在一正數 \delta > 0,使得 f(a) \geq f(x) ,對所有 x\in S 滿足 \Vert x-a\Vert < \delta。那麼我們可以說: f(a) \geq f(x) 對所有 x\in S 成立嗎? prove or disprove it.

    找到一個反例:
    A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0& 0 & 0 \end{bmatrix}, x=[1, 0, 0]^T, a=[1/\sqrt{3}, \sqrt{2}/\sqrt{3}, 0]^T.
    這樣可以嗎? 有誤解題目意思嗎?

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