克拉瑪公式的簡易幾何證明

本文的閱讀等級:初級

A 為一 n 階實數可逆方陣,\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n,克拉瑪公式 (Cramer’s rule) 給出線性方程 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 解,如下:

x_i=\displaystyle\frac{\det A_i(\mathbf{b})}{\det A},~~i=1,2,\ldots,n

其中 A_i(\mathbf{b}) 表示以 \mathbf{b} 取代 A 的第 i 行後得到的 n 階方陣。在“克拉瑪公式的證明”一文,我們曾經介紹一個操作矩陣代數的證明法,這篇短文將解說如何以行列式的幾何性質推導線性方程解。

 
行列式 \mathrm{det}A 即為 A 的行向量所張的平行多面體有號體積 (參閱“行列式的幾何意義”),這是克拉瑪公式幾何證明所引用的基本知識。為方便說明,以下僅考慮 n=3 的情況。令 A 為一 3 階可逆方陣。因為 \mathrm{det}A\neq 0,可知 A 的行向量 \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\in\mathbb{R}^3 不為零且不共平面。對於任意非零向量 \mathbf{b},必存在唯一的一組純量 x_1,x_2,x_3 使得

x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+x_3\mathbf{a}_3=\mathbf{b}

假設 x_1,x_2,x_3 也都不為零。如果此條件不成立,可將 \mathbf{b} 替換為 \mathbf{b}+\mathbf{\epsilon},其中 \mathbf{\epsilon} 是一個極小的向量,等到證明完畢之後再令 \mathbf{\epsilon}\rightarrow\mathbf{0} 即可。

 
考慮 x_1\mathbf{a}_1,x_2\mathbf{a}_2,x_3\mathbf{a}_3 所張開的平行六面體,與 \mathbf{b},x_2\mathbf{a}_2,x_3\mathbf{a}_3 所張開的平行六面體 (見下圖)。兩者的底同為由 x_2\mathbf{a}_2x_3\mathbf{a}_3 所張的平行四邊形,兩者的高也相等。原因是 \mathbf{b} 包含二個獨立分量,一是 x_1\mathbf{a}_1,另一是 x_2\mathbf{a}_2+x_3\mathbf{a}_3,屬於底所在的子空間 \mathrm{span}\{\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\}。所以這兩個平行六面體的有號體積相等,以行列式表達如下:

\det\begin{bmatrix}    x_1\mathbf{a}_1&x_2\mathbf{a}_2&x_3\mathbf{a}_3    \end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}    \mathbf{b}& x_2\mathbf{a}_2&x_3\mathbf{a}_3    \end{bmatrix}

將行列式中各行的純量提出,

x_1x_2x_3\cdot\det\begin{bmatrix}    \mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2&\mathbf{a}_3    \end{bmatrix}=x_2x_3\cdot\det\begin{bmatrix}    \mathbf{b}&\mathbf{a}_2&\mathbf{a}_3    \end{bmatrix}

再消去等號兩邊的 x_2x_3 便得到解:

\begin{aligned}  x_1&=\displaystyle\frac{\det\begin{bmatrix}    \mathbf{b}&\mathbf{a}_2&\mathbf{a}_3    \end{bmatrix}}{\det\begin{bmatrix}    \mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2&\mathbf{a}_3    \end{bmatrix}}=\frac{\det A_1(\mathbf{b})}{\det A}\end{aligned}

利用同樣方法也可以解出 x_2x_3

圖解克拉瑪公式證明

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