克拉瑪公式的簡易幾何證明

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設 為一 階實數可逆方陣，，克拉瑪公式 (Cramer’s rule) 給出線性方程 解，如下：

，

其中 表示以 取代 的第 行後得到的 階方陣。在“克拉瑪公式的證明”一文，我們曾經介紹一個操作矩陣代數的證明法，這篇短文將解說如何以行列式的幾何性質推導線性方程解。

 
行列式 即為 的行向量所張的平行多面體有號體積 (參閱“行列式的幾何意義”)，這是克拉瑪公式幾何證明所引用的基本知識。為方便說明，以下僅考慮 的情況。令 為一 階可逆方陣。因為 ，可知 的行向量 不為零且不共平面。對於任意非零向量 ，必存在唯一的一組純量 使得

。

假設 也都不為零。如果此條件不成立，可將 替換為 ，其中 是一個極小的向量，等到證明完畢之後再令 即可。

 
考慮 所張開的平行六面體，與 所張開的平行六面體 (見下圖)。兩者的底同為由 和 所張的平行四邊形，兩者的高也相等。原因是 包含二個獨立分量，一是 ，另一是 ，屬於底所在的子空間 。所以這兩個平行六面體的有號體積相等，以行列式表達如下：

。

將行列式中各行的純量提出，

，

再消去等號兩邊的 和 便得到解：

。

利用同樣方法也可以解出 和 。

圖解克拉瑪公式證明

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