從推導一元二次方程的公式解看個性

本文列舉三種一元二次方程 ax^2+bx+c=0a\neq 0,公式解的推導方法。原則上,我只簡要地描述推導過程,並不加入個人評論。讀者可以從中選出自己最喜愛的方法,之後再參閱文末對照各種推導法的個性分析。

 
推導法A:等號兩邊同時除以 a,將常數移至等號右邊,接著使用配方法解出兩根公式,過程如下:

\displaystyle  \begin{aligned}  &~~ax^2+bx+c=0\\  \Rightarrow&~~x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\\  \Rightarrow&~~x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\\  \Rightarrow&~~\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\  \Rightarrow&~~x+\frac{b}{2a}=\frac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\  \Rightarrow&~~x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}  \end{aligned}

 
推導法B:等號兩邊同時乘以 4a,將常數移至等號右邊,接著使用配方法解出兩根公式,過程如下:

\displaystyle  \begin{aligned}  &~~ax^2+bx+c=0\\  \Rightarrow&~~4a^2x^2+4abx=-4ac\\  \Rightarrow&~~4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac\\  \Rightarrow&~~(2ax+b)^2=b^2-4ac\\  \Rightarrow&~~2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}\\  \Rightarrow&~~x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}  \end{aligned}

 
推導法C:等號兩邊同時除以 a

\displaystyle  \begin{aligned}  &~~ax^2+bx+c=0\\  \Rightarrow&~~x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0  \end{aligned}

\alpha\beta 代表二根,就有

(x-\alpha)(x-\beta)=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0

接著使用比較係數法解出兩根公式。比較上面兩式的係數,可知

\displaystyle  \alpha+\beta=-\frac{b}{a},~~~\alpha\beta=\frac{c}{a}

另計算

\displaystyle  (\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}=\frac{b^2-4ac}{a^2}

開平方根,可得

\displaystyle  \alpha-\beta=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}

使用 \alpha+\beta\alpha-\beta 的表達式可解出

\displaystyle  \alpha=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},~~\beta=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

 
下面的分析文字都是我從「xxx看個性」這類網站找到,再加以黏貼拼湊而成。所以,請讀者不用過於在乎這些分析的準確度。

推導法A:
你有非凡的耐力和恆心,剛毅頑強,意志堅決。做起事來穩重踏實,中規中矩,認真謹慎,一絲不苟。有些時候過於守舊,不善變通,放任自己隨波逐流,在創新事物上缺乏足夠的競爭力。

推導法B:
你的個性灑脫,不受拘束,富時尚美感,喜歡節奏快速的生活。工作時心思細密,神經敏銳,總能掌握最新訊息,走在時代尖端。因為形象突出,難免顯得你高傲自戀,讓一般人難以親近。

推導法C:
你重視規矩,遵守原則,富責任感,尤其看重結果。為了達到自己設定的目標,總會事前列出清單並盡一切辦法去完成。有時過於強調最後結果,忽略中間過程,因而給人單調無趣,缺乏想像力的印象。

 
至此欲罷不能,我還想繼續寫一篇「從看完『從推導一元二次方程的公式解看個性』後的情緒反應看個性」。

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10 Responses to 從推導一元二次方程的公式解看個性

  1. Watt Lin says:

    當年在國中二年級,書本使用A方法,我從來沒想過B與C的方法。
    看到周老師這樣寫,覺得很有趣!

  2. Watt Lin says:

    C的方法,我覺得很好,假如將來有人問我這一題,我會優先採用C法作解說。
    若時間充裕,三種方法我都講。
    目前,我兒子是國中一年級,等升上國二,看他的老師怎麼教?
    然後,我讓孩子參觀這個部落格,應該會得到很好的觀念啟發。

  3. Watt Lin says:

    請問老師,有沒有方法D,在高斯平面繪圖,
    標示兩個共軛虛根,或者兩個實根,或是重根情形。
    若是圖解法可以算出答案,會很有趣。
    我的學習歷程,只知道方法A求解,
    畫圖,是等答案算好,才畫的,而非由圖去找答案。
    也許,這種方法不存在,我只是猜猜而已。

    • ccjou says:

      等令公子升上國二,請他也圈選最喜歡的方法,或許可以在同學中進行這項調查。

      我不知道是否還有D方法,但用繪圖法怕不成,因為我們想得到的是公式解,所以只能採用代數方法。

  4. Watt Lin says:

    我試試在個人行事曆,提醒一年後,叫兒子看周教授的部落格。希望能記得!

    繪圖法,不能用來求解,大概是因為 a,b,c 三數皆未知。
    若a,b,c三數給定,解出兩根,
    之後,才可在高斯平面畫出共軛複根,或者兩根皆為實數,
    接著,複數加法很容易用「向量和」理解,
    複數乘法,國中老師大概要耗費時間去講幾何意義,國中生不易聽懂,
    高二程度,有可能懂,但是卻有點艱深,牽涉到直角座標轉換極座標。
    我在民國73年進入高中,適逢國立編譯館全面採用新版教材,
    前一屆學長的課本有談極座標,我這一屆則沒有極座標,也沒講 arctan 函數。
    印象中,複數乘法的幾何意義,在當年高二時,同學們不太容易建立清晰的觀念。

  5. suehang says:

    个人认为 推导3 实在是有些刻意,站在教学角度,推导2一般是对数学较敏感的学生做出的,因为乘4a的再配方的技巧性较强,一般学生想不到,要教会学生的一般是推导1,就是拆项配方的基本技巧.

  6. 路人甲 says:

    請問一下,有沒有人是用拉格朗日預解式推算(不過會這個的人還會回來算一元二次嗎)

  7. eugene huang says:

    因為在職專業應用上需求,正在努力找尋三度空間之內插數值射線解未果的中途,剛好路過此寶地,驚覺盡有令人如此驚豔的數學寶庫園地而不知,恨不相逢~~哈哈
    因為再下國中對一元二次方程推導方法,也有特別自身感觸,所以就到此留筆一遊。

    推導A,可以多學配方法,但太容易失去解題樂趣。因為學習當下,無可用之處(除了應付無聊病態的考題),所以變得無趣。不是方法問題,是學習人尚未知專長應用之領域而無趣。
    推導B、C,同乘4a或除以a(初學難以理解其含義),適合給有冥想天份的人、歐拉、拉瑪奴金…之類吧。

    整個討論下來,大家好像很期待有第4選擇?看看唄~
    最近在水管剛好看到另一種解法:(妈咪说MommyTalk)
    方法大推,相見恨晚,但前提要會解聯立~~這有點可惜了!

    就當老小弟野人獻曝吧!
    aX^2+bX+c=0
    X^2+(b/a)X+(c/a)=0
    set 兩根為x1、x2
    x1+x2= -b/a …二根之合,#方程式一
    x1*x2= c/a ….二根之積

    試想(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4*x1*x2 ……. (or 冥想 哈!!!)
    &代入 => (x1-x2)^2=(b/a)^2-4(c/a)
    (x1-x2)^2=(b^2-4ac)/a^2….
    開平方=> x1-x2=(+-)[(b^2-4ac)/a^2]^(1/2)….#方程式二

    解聯立#方程式一&#方程式二
    + => 2×1=-b/a+-[(b^2-4ac)/a^2]^(1/2)
    => x1=-[-b+-(b^2-4ac)^(1/2)]/(2*a)
    供參考之

    祝 萬事如意

  8. eugene huang says:

    以上因無法編輯,最後一行多了-號,更正如下 x1=[-b+-(b^2-4ac)^(1/2)]/(2*a)

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