本文列舉三種一元二次方程 ,,公式解的推導方法。原則上,我只簡要地描述推導過程,並不加入個人評論。讀者可以從中選出自己最喜愛的方法,之後再參閱文末對照各種推導法的個性分析。
推導法A:等號兩邊同時除以 ,將常數移至等號右邊,接著使用配方法解出兩根公式,過程如下:
推導法B:等號兩邊同時乘以 ,將常數移至等號右邊,接著使用配方法解出兩根公式,過程如下:
推導法C:等號兩邊同時除以 ,
令 和 代表二根,就有
。
接著使用比較係數法解出兩根公式。比較上面兩式的係數,可知
。
另計算
,
開平方根,可得
。
使用 和 的表達式可解出
。
下面的分析文字都是我從「xxx看個性」這類網站找到,再加以黏貼拼湊而成。所以,請讀者不用過於在乎這些分析的準確度。
推導法A:
你有非凡的耐力和恆心,剛毅頑強,意志堅決。做起事來穩重踏實,中規中矩,認真謹慎,一絲不苟。有些時候過於守舊,不善變通,放任自己隨波逐流,在創新事物上缺乏足夠的競爭力。
推導法B:
你的個性灑脫,不受拘束,富時尚美感,喜歡節奏快速的生活。工作時心思細密,神經敏銳,總能掌握最新訊息,走在時代尖端。因為形象突出,難免顯得你高傲自戀,讓一般人難以親近。
推導法C:
你重視規矩,遵守原則,富責任感,尤其看重結果。為了達到自己設定的目標,總會事前列出清單並盡一切辦法去完成。有時過於強調最後結果,忽略中間過程,因而給人單調無趣,缺乏想像力的印象。
至此欲罷不能,我還想繼續寫一篇「從看完『從推導一元二次方程的公式解看個性』後的情緒反應看個性」。
當年在國中二年級,書本使用A方法,我從來沒想過B與C的方法。
看到周老師這樣寫,覺得很有趣!
別管推導方法對應的個性分析,你比較喜歡哪一個方法?
C的方法,我覺得很好,假如將來有人問我這一題,我會優先採用C法作解說。
若時間充裕,三種方法我都講。
目前,我兒子是國中一年級,等升上國二,看他的老師怎麼教?
然後,我讓孩子參觀這個部落格,應該會得到很好的觀念啟發。
請問老師,有沒有方法D,在高斯平面繪圖,
標示兩個共軛虛根,或者兩個實根,或是重根情形。
若是圖解法可以算出答案,會很有趣。
我的學習歷程,只知道方法A求解,
畫圖,是等答案算好,才畫的,而非由圖去找答案。
也許,這種方法不存在,我只是猜猜而已。
等令公子升上國二,請他也圈選最喜歡的方法,或許可以在同學中進行這項調查。
我不知道是否還有D方法,但用繪圖法怕不成,因為我們想得到的是公式解,所以只能採用代數方法。
我試試在個人行事曆,提醒一年後,叫兒子看周教授的部落格。希望能記得!
繪圖法,不能用來求解,大概是因為 a,b,c 三數皆未知。
若a,b,c三數給定,解出兩根,
之後,才可在高斯平面畫出共軛複根,或者兩根皆為實數,
接著,複數加法很容易用「向量和」理解,
複數乘法,國中老師大概要耗費時間去講幾何意義,國中生不易聽懂,
高二程度,有可能懂,但是卻有點艱深,牽涉到直角座標轉換極座標。
我在民國73年進入高中,適逢國立編譯館全面採用新版教材,
前一屆學長的課本有談極座標,我這一屆則沒有極座標,也沒講 arctan 函數。
印象中,複數乘法的幾何意義,在當年高二時,同學們不太容易建立清晰的觀念。
个人认为 推导3 实在是有些刻意,站在教学角度,推导2一般是对数学较敏感的学生做出的,因为乘4a的再配方的技巧性较强,一般学生想不到,要教会学生的一般是推导1,就是拆项配方的基本技巧.
請問一下,有沒有人是用拉格朗日預解式推算(不過會這個的人還會回來算一元二次嗎)
因為在職專業應用上需求,正在努力找尋三度空間之內插數值射線解未果的中途,剛好路過此寶地,驚覺盡有令人如此驚豔的數學寶庫園地而不知,恨不相逢~~哈哈
因為再下國中對一元二次方程推導方法,也有特別自身感觸,所以就到此留筆一遊。
推導A,可以多學配方法,但太容易失去解題樂趣。因為學習當下,無可用之處(除了應付無聊病態的考題),所以變得無趣。不是方法問題,是學習人尚未知專長應用之領域而無趣。
推導B、C,同乘4a或除以a(初學難以理解其含義),適合給有冥想天份的人、歐拉、拉瑪奴金…之類吧。
整個討論下來,大家好像很期待有第4選擇?看看唄~
最近在水管剛好看到另一種解法:(妈咪说MommyTalk)
方法大推,相見恨晚,但前提要會解聯立~~這有點可惜了!
就當老小弟野人獻曝吧!
aX^2+bX+c=0
X^2+(b/a)X+(c/a)=0
set 兩根為x1、x2
x1+x2= -b/a …二根之合,#方程式一
x1*x2= c/a ….二根之積
試想(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4*x1*x2 ……. (or 冥想 哈!!!)
&代入 => (x1-x2)^2=(b/a)^2-4(c/a)
(x1-x2)^2=(b^2-4ac)/a^2….
開平方=> x1-x2=(+-)[(b^2-4ac)/a^2]^(1/2)….#方程式二
解聯立#方程式一&#方程式二
+ => 2×1=-b/a+-[(b^2-4ac)/a^2]^(1/2)
=> x1=-[-b+-(b^2-4ac)^(1/2)]/(2*a)
供參考之
祝 萬事如意
以上因無法編輯,最後一行多了-號,更正如下 x1=[-b+-(b^2-4ac)^(1/2)]/(2*a)