線性微分方程解的存在性與唯一性

本文的閱讀等級:中級

考慮一物理系統,在任意時間 t,該系統的狀態完全由 n 個函數 x_1(t),\ldots,x_n(t) 描述。在任意時間 t,假設這些函數的變化率由它們的函數值所決定,表示如下:

\displaystyle  \frac{dx_i}{dt}=f_i(x_1,\ldots,x_n),~~i=1,\ldots,n

並給定初始條件 \displaystyle  x_i(0)=c_ii=1,\ldots,n。如果數組 (c_1,\ldots,c_n) 滿足

\displaystyle  f_i(c_1,\ldots,c_n)=0,~~i=1,\ldots,n

我們稱系統處在均衡狀態 (equilibrium state)。除非受到外力干擾,否則系統不會離開均衡狀態。我們對於均衡狀態附近的系統行為特別感興趣,精確地說,我們想瞭解系統在微小擾動下是否具備穩定性。若系統受到擾動後最終可以返回均衡狀態,便稱此系統是穩定的,否則稱為不穩定。為了探討這個問題,設定

\displaystyle  x_i=c_i+y_i

其中 y_i 是微小擾動量。將上式代入前面的微分式,寫出泰勒展開式,

\displaystyle\begin{aligned}  \frac{dy_i}{dt}&=\frac{dx_i}{dt}=f_i(c_1+y_1,\ldots,c_n+y_n)\\  &=f_i(c_1,\ldots,c_n)+\sum_{j=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial x_j}y_j+\frac{1}{2}\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\frac{\partial^2 f_i}{\partial x_j\partial x_k}y_jy_k+\cdots\\  &=\sum_{j=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial x_j}y_j+\frac{1}{2}\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\frac{\partial^2 f_i}{\partial x_j\partial x_k}y_jy_k+\cdots  \end{aligned}

x_i=c_ii=1,\ldots,n,令 \displaystyle a_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}。如果忽略高階項,物理系統在均衡狀態 (c_1,\ldots,c_n) 附近的行為可以用下列線性微分方程近似:

\displaystyle  \frac{dy_i}{dt}=\sum_{j=1}^na_{ij}y_j,~~i=1,2,\ldots,n

或表示為矩陣形式

\displaystyle  \begin{bmatrix}  \displaystyle\frac{dy_1}{dt}\\[0.8em]  \displaystyle\frac{dy_2}{dt}\\[0.3em]  \vdots\\[0.3em]  \displaystyle\frac{dy_n}{dt}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\  a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\  a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  y_1\\  y_2\\  \vdots\\  y_n  \end{bmatrix}

\mathbf{y}=[y_i] 是一 n 維向量且 A=[a_{ij}] 是一 n\times n 階矩陣。定義 \displaystyle \left(\frac{d\mathbf{y}}{dt}\right)_i=\frac{dy_i}{dt},可得簡明的向量微分方程式

\displaystyle  \frac{d\mathbf{y}}{dt}=A\mathbf{y},~~\mathbf{y}(0)=\mathbf{c}'

我們研習常微分方程的一個強烈動機即在解出 \mathbf{y}(t)t\ge 0,以確定系統的漸近行為 (當 t\to\infty)。本文採用矩陣分析證明線性微分方程解的存在性與唯一性,給出齊次常微分方程的解並定義矩陣指數,最後討論矩陣微分方程解的可逆性 (線性代數與微分方程的一般關聯性討論請見“從線性代數看微分方程”)。

 
下面是一般線性微分方程的問題表述,以及唯一存在的解所滿足的條件。若 A(t)t\ge 0,是一 n\times n 階矩陣連續函數,則向量微分方程

\displaystyle  \frac{d\mathbf{x}}{dt}=A(t)\mathbf{x},~~\mathbf{x}(0)=\mathbf{c}

存在唯一解 \mathbf{x}=X(t)\mathbf{c},其中 X(t) 是唯一的 n\times n 階矩陣滿足矩陣微分方程

\displaystyle  \frac{dX}{dt}=A(t)X,~~X(0)=I

很容易驗證 \mathbf{x}=X(t)\mathbf{c} 是向量微分方程的一個解:

\displaystyle  \frac{d\mathbf{x}}{dt}=\frac{dX\mathbf{c}}{dt}=\frac{dX}{dt}\mathbf{c}=A(t)X\mathbf{c}=A(t)\mathbf{x}

且初始值為 \mathbf{x}(0)=X(0)\mathbf{c}=I\mathbf{c}=\mathbf{c}

 
我們用逐次逼近法 (successive approximation) 來證明線性微分方程解的存在性。將矩陣微分方程替換為等價的矩陣積分式

\displaystyle  X=I+\int_0^tA(s)Xds

定義矩陣序列 \{X_k\} 如下:

\displaystyle\begin{aligned}  X_0&=I\\  X_{k+1}&=I+\int_0^tA(s)X_kds,~~k=0,1,2,\ldots  \end{aligned}

並寫出

\displaystyle  X_{k+1}-X_k=\int_0^tA(s)(X_k-X_{k-1})ds,~~k=1,2,\ldots

\displaystyle  m=\max_{0\le s\le t}\Vert A(s)\Vert

其中 \Vert\cdot\Vert 表示矩陣範數 (norm,見“矩陣範數”)。考慮逐次逼近的矩陣差範數,

\displaystyle  \Vert X_1-X_0\Vert=\left\Vert\int_0^tA(s)ds\right\Vert\le\int_0^t\Vert A(s)\Vert ds\le mt

同樣地,對於 k=1,2,\ldots,使用矩陣範數的不等性質 \Vert AB\Vert\le\Vert A\Vert\cdot\Vert B\Vert,可得

\displaystyle\begin{aligned}  \Vert X_{k+1}-X_k\Vert&=\left\Vert\int_0^tA(s)(X_k-X_{k-1})ds\right\Vert\\  &\le\int_0^t\Vert A(s)\Vert\cdot\Vert X_k-X_{k-1}\Vert ds\\  &\le m\int_0^t\Vert X_k-X_{k-1}\Vert ds.\end{aligned}

由上面兩不等式可歸納得到

\displaystyle  \Vert X_{k+1}-X_k\Vert\le\frac{m^{k+1}t^{k+1}}{(k+1)!}

故知 \displaystyle\sum_{k=0}^\infty\Vert X_{k+1}-X_k\Vert 是一致收斂 (uniformly convergent) 的級數,所以 X_k 一致收斂至 X(t)。因為 X(t) 滿足矩陣積分式,自然也就滿足矩陣微分方程。接著證明線性微分方程有唯一解。假設 Y 是矩陣微分方程的另一個解,則 Y 亦滿足矩陣積分式。令 Y 對應的矩陣序列為 \{Y_k\},如下:

\displaystyle\begin{aligned}  Y_0&=I\\  Y_{k+1}&=I+\int_0^tA(s)Y_kds,~~k=0,1,2,\ldots  \end{aligned}

考慮

\displaystyle  X_{k+1}-Y_{k+1}=\int_0^tA(s)(X_k-Y_k)ds,~~k=0,1,2,\ldots

因為 X_0=Y_0=I,立得 X_k=Y_kk=1,2,\ldots,故證明 X(t)=Y(t)

 
考慮常數矩陣 A(t)=A 的情況。因為一階常微分方程

\displaystyle  \frac{dx}{dt}=ax,~~x(0)=c

的解是 x(t)=e^{at}c,我們猜測常矩陣微分方程

\displaystyle  \frac{dX}{dt}=AX,~~X(0)=C

的解具有相同形式 X=e^{At}C。根據先前使用的逐次逼近法,仿造純量指數表達式,我們定義矩陣指數為下列級數 (見“矩陣指數”):

\displaystyle  e^{At}=I+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\cdots

利用矩陣範數的不等性質,可得

\displaystyle  \frac{\Vert A^nt^n\Vert}{n!}\le\frac{\Vert A^n\Vert\cdot\vert t\vert^n}{n!}\le\frac{\Vert A\Vert^n\cdot\vert t\vert^n}{n!}

從純量指數

\displaystyle  e^{\Vert A\Vert\cdot\vert t\vert}=1+\Vert A\Vert\cdot\vert t\vert+\frac{\Vert A\Vert^2\cdot\vert t\vert^2}{2!}+\cdots

可推論矩陣指數也是一收斂級數。求無窮級數表達式的導數,

\displaystyle\begin{aligned}  \frac{de^{At}}{dt}&=\frac{d}{dt}\sum_{k=0}^\infty\frac{A^kt^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}\frac{dt^k}{dt}\\  &=A\sum_{k=1}^\infty \frac{A^{k-1}t^{k-1}}{(k-1)!}=Ae^{At},\end{aligned}

證明齊次常微分方程 \displaystyle \frac{d\mathbf{x}}{dt}=A\mathbf{x}\mathbf{x}(0)=\mathbf{c},的解為 \mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{c}

 
最後我們證明矩陣微分方程

\displaystyle  \frac{dX}{dt}=A(t)X,~~X(0)=I

的解 X(t) 到處可逆。這個性質的必然結果:不論 A 是否可逆,矩陣指數 e^{At} 一定是可逆矩陣。設 X=[x_{ij}] 是一 n\times n 階可微矩陣函數。Jacobi 的行列式微分公式如下:

\displaystyle  d\det X=\hbox{tr}\left((\hbox{adj}X)dX\right)

其中 \hbox{adj}XX 的伴隨矩陣 (adjugate),滿足 X(\hbox{adj}X)=(\det X)IdXX 的微分。證明於下。使用行列式餘因子公式 (見“跡數與行列式的導數”),

\displaystyle\begin{aligned}  \frac{\partial \det X}{\partial x_{ij}}&=\frac{\sum_{k=1}^nx_{ik}c_{ik}}{\partial x_{ij}}=\sum_{k=1}^n\delta_{jk}c_{ik}\\  &=c_{ij}=(\hbox{adj}X)_{ji},\end{aligned}

其中 c_{ij}=(\hbox{adj}A)_{ji} 是對應 a_{ij} 的餘因子。於是,

\displaystyle\begin{aligned}  d\det X&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{\partial \det X}{\partial x_{ij}}dx_{ij}\\  &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\left(\hbox{adj}X\right)_{ji} dx_{ij}\\  &=\hbox{tr}\left((\hbox{adj}X)dX\right)  .\end{aligned}

套用 Jacobi 公式,矩陣微分方程,以及跡數循環不變性,可得

\displaystyle\begin{aligned}  \frac{d\det X}{dt}&=\hbox{tr}\left(\hbox{adj}X\frac{dX}{dt}\right)=\hbox{tr}\left((\hbox{adj}X)AX\right)\\  &=\hbox{tr}\left(X(\hbox{adj}X)A\right)=\hbox{tr}\left((\det X)IA\right)\\  &=(\det X)(\hbox{tr}A).  \end{aligned}

所以,

\displaystyle  \det X(t)=e^{\int_0^t\textrm{tr}A(s)ds}\det X(0)

因為 \det X(0)=\det I=1,上式表明 \det X(t)\neq 0t\ge 0,也就是說,X(t) 到處可逆。

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