線性微分方程解的存在性與唯一性

本文的閱讀等級：中級

考慮一物理系統，在任意時間 $t$ ，該系統的狀態完全由 $n$ 個函數 $x_1(t),\ldots,x_n(t)$ 描述。在任意時間 $t$ ，假設這些函數的變化率由它們的函數值所決定，表示如下：

$\displaystyle \frac{dx_i}{dt}=f_i(x_1,\ldots,x_n),~~i=1,\ldots,n$ ，

並給定初始條件 $\displaystyle x_i(0)=c_i$ ， $i=1,\ldots,n$ 。如果數組 $(c_1,\ldots,c_n)$ 滿足

$\displaystyle f_i(c_1,\ldots,c_n)=0,~~i=1,\ldots,n$ ，

我們稱系統處在均衡狀態 (equilibrium state)。除非受到外力干擾，否則系統不會離開均衡狀態。我們對於均衡狀態附近的系統行為特別感興趣，精確地說，我們想瞭解系統在微小擾動下是否具備穩定性。若系統受到擾動後最終可以返回均衡狀態，便稱此系統是穩定的，否則稱為不穩定。為了探討這個問題，設定

$\displaystyle x_i=c_i+y_i$ ，

其中 $y_i$ 是微小擾動量。將上式代入前面的微分式，寫出泰勒展開式，

$\displaystyle\begin{aligned} \frac{dy_i}{dt}&=\frac{dx_i}{dt}=f_i(c_1+y_1,\ldots,c_n+y_n)\\ &=f_i(c_1,\ldots,c_n)+\sum_{j=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial x_j}y_j+\frac{1}{2}\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\frac{\partial^2 f_i}{\partial x_j\partial x_k}y_jy_k+\cdots\\ &=\sum_{j=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial x_j}y_j+\frac{1}{2}\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\frac{\partial^2 f_i}{\partial x_j\partial x_k}y_jy_k+\cdots \end{aligned}$

當 $x_i=c_i$ ， $i=1,\ldots,n$ ，令 $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ 。如果忽略高階項，物理系統在均衡狀態 $(c_1,\ldots,c_n)$ 附近的行為可以用下列線性微分方程近似：

$\displaystyle \frac{dy_i}{dt}=\sum_{j=1}^na_{ij}y_j,~~i=1,2,\ldots,n$ ，

或表示為矩陣形式

$\displaystyle \begin{bmatrix} \displaystyle\frac{dy_1}{dt}\\[0.8em] \displaystyle\frac{dy_2}{dt}\\[0.3em] \vdots\\[0.3em] \displaystyle\frac{dy_n}{dt} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{bmatrix}$ 。

令 $\mathbf{y}=[y_i]$ 是一 $n$ 維向量且 $A=[a_{ij}]$ 是一 $n\times n$ 階矩陣。定義 $\displaystyle \left(\frac{d\mathbf{y}}{dt}\right)_i=\frac{dy_i}{dt}$ ，可得簡明的向量微分方程式

$\displaystyle \frac{d\mathbf{y}}{dt}=A\mathbf{y},~~\mathbf{y}(0)=\mathbf{c}'$ 。

我們研習常微分方程的一個強烈動機即在解出 $\mathbf{y}(t)$ ， $t\ge 0$ ，以確定系統的漸近行為 (當 $t\to\infty$ )。本文採用矩陣分析證明線性微分方程解的存在性與唯一性，給出齊次常微分方程的解並定義矩陣指數，最後討論矩陣微分方程解的可逆性 (線性代數與微分方程的一般關聯性討論請見“從線性代數看微分方程”)。

下面是一般線性微分方程的問題表述，以及唯一存在的解所滿足的條件。若 $A(t)$ ， $t\ge 0$ ，是一 $n\times n$ 階矩陣連續函數，則向量微分方程

$\displaystyle \frac{d\mathbf{x}}{dt}=A(t)\mathbf{x},~~\mathbf{x}(0)=\mathbf{c}$

存在唯一解 $\mathbf{x}=X(t)\mathbf{c}$ ，其中 $X(t)$ 是唯一的 $n\times n$ 階矩陣滿足矩陣微分方程

$\displaystyle \frac{dX}{dt}=A(t)X,~~X(0)=I$ 。

很容易驗證 $\mathbf{x}=X(t)\mathbf{c}$ 是向量微分方程的一個解：

$\displaystyle \frac{d\mathbf{x}}{dt}=\frac{dX\mathbf{c}}{dt}=\frac{dX}{dt}\mathbf{c}=A(t)X\mathbf{c}=A(t)\mathbf{x}$ ，

且初始值為 $\mathbf{x}(0)=X(0)\mathbf{c}=I\mathbf{c}=\mathbf{c}$ 。

我們用逐次逼近法 (successive approximation) 來證明線性微分方程解的存在性。將矩陣微分方程替換為等價的矩陣積分式

$\displaystyle X=I+\int_0^tA(s)Xds$ 。

定義矩陣序列 $\{X_k\}$ 如下：

$\displaystyle\begin{aligned} X_0&=I\\ X_{k+1}&=I+\int_0^tA(s)X_kds,~~k=0,1,2,\ldots \end{aligned}$

並寫出

$\displaystyle X_{k+1}-X_k=\int_0^tA(s)(X_k-X_{k-1})ds,~~k=1,2,\ldots$ 。

令

$\displaystyle m=\max_{0\le s\le t}\Vert A(s)\Vert$ ，

其中 $\Vert\cdot\Vert$ 表示矩陣範數 (norm，見“矩陣範數”)。考慮逐次逼近的矩陣差範數，

$\displaystyle \Vert X_1-X_0\Vert=\left\Vert\int_0^tA(s)ds\right\Vert\le\int_0^t\Vert A(s)\Vert ds\le mt$ ；

同樣地，對於 $k=1,2,\ldots$ ，使用矩陣範數的不等性質 $\Vert AB\Vert\le\Vert A\Vert\cdot\Vert B\Vert$ ，可得

$\displaystyle\begin{aligned} \Vert X_{k+1}-X_k\Vert&=\left\Vert\int_0^tA(s)(X_k-X_{k-1})ds\right\Vert\\ &\le\int_0^t\Vert A(s)\Vert\cdot\Vert X_k-X_{k-1}\Vert ds\\ &\le m\int_0^t\Vert X_k-X_{k-1}\Vert ds.\end{aligned}$

由上面兩不等式可歸納得到

$\displaystyle \Vert X_{k+1}-X_k\Vert\le\frac{m^{k+1}t^{k+1}}{(k+1)!}$ ，

故知 $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\Vert X_{k+1}-X_k\Vert$ 是一致收斂 (uniformly convergent) 的級數，所以 $X_k$ 一致收斂至 $X(t)$ 。因為 $X(t)$ 滿足矩陣積分式，自然也就滿足矩陣微分方程。接著證明線性微分方程有唯一解。假設 $Y$ 是矩陣微分方程的另一個解，則 $Y$ 亦滿足矩陣積分式。令 $Y$ 對應的矩陣序列為 $\{Y_k\}$ ，如下：

$\displaystyle\begin{aligned} Y_0&=I\\ Y_{k+1}&=I+\int_0^tA(s)Y_kds,~~k=0,1,2,\ldots \end{aligned}$

考慮

$\displaystyle X_{k+1}-Y_{k+1}=\int_0^tA(s)(X_k-Y_k)ds,~~k=0,1,2,\ldots$ 。

因為 $X_0=Y_0=I$ ，立得 $X_k=Y_k$ ， $k=1,2,\ldots$ ，故證明 $X(t)=Y(t)$ 。

考慮常數矩陣 $A(t)=A$ 的情況。因為一階常微分方程

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=ax,~~x(0)=c$

的解是 $x(t)=e^{at}c$ ，我們猜測常矩陣微分方程

$\displaystyle \frac{dX}{dt}=AX,~~X(0)=C$

的解具有相同形式 $X=e^{At}C$ 。根據先前使用的逐次逼近法，仿造純量指數表達式，我們定義矩陣指數為下列級數 (見“矩陣指數”)：

$\displaystyle e^{At}=I+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\cdots$

利用矩陣範數的不等性質，可得

$\displaystyle \frac{\Vert A^nt^n\Vert}{n!}\le\frac{\Vert A^n\Vert\cdot\vert t\vert^n}{n!}\le\frac{\Vert A\Vert^n\cdot\vert t\vert^n}{n!}$ 。

從純量指數

$\displaystyle e^{\Vert A\Vert\cdot\vert t\vert}=1+\Vert A\Vert\cdot\vert t\vert+\frac{\Vert A\Vert^2\cdot\vert t\vert^2}{2!}+\cdots$

可推論矩陣指數也是一收斂級數。求無窮級數表達式的導數，

$\displaystyle\begin{aligned} \frac{de^{At}}{dt}&=\frac{d}{dt}\sum_{k=0}^\infty\frac{A^kt^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}\frac{dt^k}{dt}\\ &=A\sum_{k=1}^\infty \frac{A^{k-1}t^{k-1}}{(k-1)!}=Ae^{At},\end{aligned}$

證明齊次常微分方程 $\displaystyle \frac{d\mathbf{x}}{dt}=A\mathbf{x}$ ， $\mathbf{x}(0)=\mathbf{c}$ ，的解為 $\mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{c}$ 。

最後我們證明矩陣微分方程

$\displaystyle \frac{dX}{dt}=A(t)X,~~X(0)=I$

的解 $X(t)$ 到處可逆。這個性質的必然結果：不論 $A$ 是否可逆，矩陣指數 $e^{At}$ 一定是可逆矩陣。設 $X=[x_{ij}]$ 是一 $n\times n$ 階可微矩陣函數。Jacobi 的行列式微分公式如下：

$\displaystyle d\det X=\hbox{tr}\left((\hbox{adj}X)dX\right)$ ，

其中 $\hbox{adj}X$ 是 $X$ 的伴隨矩陣 (adjugate)，滿足 $X(\hbox{adj}X)=(\det X)I$ ， $dX$ 是 $X$ 的微分。證明於下。使用行列式餘因子公式 (見“跡數與行列式的導數”)，

$\displaystyle\begin{aligned} \frac{\partial \det X}{\partial x_{ij}}&=\frac{\sum_{k=1}^nx_{ik}c_{ik}}{\partial x_{ij}}=\sum_{k=1}^n\delta_{jk}c_{ik}\\ &=c_{ij}=(\hbox{adj}X)_{ji},\end{aligned}$

其中 $c_{ij}=(\hbox{adj}A)_{ji}$ 是對應 $a_{ij}$ 的餘因子。於是，

$\displaystyle\begin{aligned} d\det X&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{\partial \det X}{\partial x_{ij}}dx_{ij}\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\left(\hbox{adj}X\right)_{ji} dx_{ij}\\ &=\hbox{tr}\left((\hbox{adj}X)dX\right) .\end{aligned}$

套用 Jacobi 公式，矩陣微分方程，以及跡數循環不變性，可得

$\displaystyle\begin{aligned} \frac{d\det X}{dt}&=\hbox{tr}\left(\hbox{adj}X\frac{dX}{dt}\right)=\hbox{tr}\left((\hbox{adj}X)AX\right)\\ &=\hbox{tr}\left(X(\hbox{adj}X)A\right)=\hbox{tr}\left((\det X)IA\right)\\ &=(\det X)(\hbox{tr}A). \end{aligned}$

所以，

$\displaystyle \det X(t)=e^{\int_0^t\textrm{tr}A(s)ds}\det X(0)$ 。

因為 $\det X(0)=\det I=1$ ，上式表明 $\det X(t)\neq 0$ ， $t\ge 0$ ，也就是說， $X(t)$ 到處可逆。

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