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考慮線性規劃標準型問題
其中 是一 階矩陣,,且 。若 滿足約束條件 和 ,則稱之為可行解。所有可行解組成的集合稱為可行域。任意排列未知變數,若 , 且 ,使得 ,則 稱為基解。如果基解 滿足 ,則稱之為基可行解。可行域是一個有界或無界閉凸集,其邊界由超平面構成。可行域有一個聯繫幾何與代數的重要性質:可行域的每一端點 (頂點) 是一個基可行解,相反的,可行域中任何非端點都不是基可行解 (見“線性規劃 (二):端點與基解”)。本文將介紹最佳基可行解定理:若線性規劃標準型問題有一個最佳解,則存在一個最佳基可行解 (或者說,最佳端點)。證明此定理前,我們先討論可行域的表達問題。具體地說,若可行域是一個有界閉凸集,則任一可行解可表示為端點的凸組合;若可行域是一個無界閉凸集,則任一可行解可表示為端點的凸組合與某個平移向量之和。
令 表示一個線性規劃標準型問題的可行域。我們先考慮 是有界閉凸集的情況,這時 為一個多胞形 (有限向量集的凸包)。令 為多胞形 的端點形成的集合。任一有界閉凸集 等於 的所有端點的凸包 (見“多胞形”,定理二),因此 。換句話說,任一 皆可表示為 的凸組合 (見“凸組合、凸包與凸集”):
,
其中 且 ,。
考慮含兩個變數的線性規劃問題:
圖一的黃色多邊形代表可行域,包含五個端點 ,,,,。對於可行解 ,以端點表達的凸組合式不只一種,下為一例:
加入鬆弛變數 ,約束條件可轉換為標準型 (見“線性規劃 (一):標準型問題”):
在標準型下,可行解 轉換為 ,可行域的端點則為
值得注意的是, 和 有相同的凸組合表達式:
這個性質說明不論線性規劃問題是否為標準型,可行域都是一個有界閉凸集 (多胞形),惟所在的空間不同而已。
接著考慮 是無界可行域的情況。若每一 和 都有 ,則 稱為 的一無界方向 (direction of unboundedness)。因為 和 都是可行解,
合併上面兩組式子,可得無界方向的充要條件:
。
用線性代數術語來說,可行域 的無界方向即為矩陣 的零空間 中滿足 的非零向量 。若 和 是 的無界方向,不難證明 () 和 也是 的無界方向。設 是無界可行域 的端點,明顯地,。若 ,則 可表示為所有端點的凸組合。若 是一個可行解且 ,可以證明存在一個可行解 與無界方向 使得 。所以,任一 可表示為
,
其中 且 ,。為便於理解,下面以一個例子解說如何獲得可行解的組合式來取代證明。
考慮線性規劃問題
圖二顯示可行域是平面上的一個無界閉凸集,包含三個端點 ,,。加入鬆弛變數 ,約束條件可轉換為標準型:
可行解 不屬於端點形成的凸包,即以 為頂點的三角形。由圖可知 和 的非負線性組合 (組合係數不為負值) 皆為無界方向。隨意設 ,令 朝著無界方向的反方向移動,最終 必將撞擊可行域的邊界。觀察可知 。因為 和端點 位於同一無界邊界 ( 軸), 是該邊界所指的無界方向,即有 。合併以上結果, 可寫成一個無界方向與 的凸組合之和:
。
如果 撞擊可行域的有界邊界,即連結 和 的線段或連結 和 的線段,則 可直接表示為所有端點的凸組合。
接下來我們利用可行解的表達式來證明一個非常重要的定理,它為線性規劃演算法提供了穩固的理論基礎。
最佳基可行解定理:若線性規劃標準型問題有一個 (有限數值) 最佳解,則存在一個最佳基可行解。
證明於下。假設一線性規劃標準型問題有一個最佳解 ,即目標函數值最小。令 是可行域 的端點。使用可行解表達式,
,
其中 且 ,。上式中, 或 。將上式代入目標函數,
。
下面證明 。如果 ,則當 , 的目標函數值為
。
可行解 的目標函數值小於 的目標函數值,這與假設矛盾。如果 ,則
。
但 是一個可行解,同樣與假設矛盾。故推論 ,即有 。設 ,使用凸組合性質,
。
因為 是一個最佳解,迫使 ,即知端點 是一個最佳解,故證明存在最佳基可行解。
最佳基可行解定理表明:求解一個線性規劃問題僅需檢視基可行解,也就是可行域的端點。反過來說,是否必須逐一檢查可行域的所有端點才能找出最佳解?答案是:無此必要,原因在於我們所處理最佳化問題具備凸性。這將是我們下一回要探討的主題。