Tag Archives: 線性方程組

本文的閱讀等級：初級 解線性方程組是線性代數處理的核心問題之一。考慮包含 個未知數 的線性方程式 ， 其中係數 與 是給定的純量 (實數或複數)。若線性方程組有 個方程式，則可表示為陣列形式： 線性方程組的解 必須滿足上面 個方程式，也就是說方程組的解是 個方程式各自解的交集。線性方程組的系統化解法最早出現於公元前100年的中國古籍《九章算術》(見“《九章算術》的方程術”)，隨後傳入日本和歐洲。今天，我們稱此算法為高斯消去法或高斯消元法 (Gaussian elimination) 以紀念德國數學家高斯 (Carl Friedrich Gauss) 的廣泛使用進而推廣了這個方法。

本文的閱讀等級：初級 線性方程組是線性代數的一個啟蒙問題，與數學領域中許多令人困惑的問題比較，解線性方程組似乎不具挑戰性。中學數學曾經介紹包含兩個以及三個變數的線性方程組，例如，著名的「雞兔同籠」問題：若干雞兔同籠，已知共有 個頭， 隻腳，問雞和兔各有幾隻？由於解題過程僅牽涉基礎代數，現代讀者幾乎毫不費力立刻可以算出答案，不論問題本身或其解答都不令人感到驚異。表面上，線性方程組看似平淡無奇，背後其實隱藏了奇異的思維與豐富的理論，特別是線性方程組在近代自然科學與社會科學的重要性遠遠超過一般人的想像。因此，線性代數的學習旅程中，求解線性方程經常被列為第一個探索主題。本文從幾何觀點解說求解線性方程組的涵義。

本文的閱讀等級：初級 《九章算術》是中國最古老的數學典籍之一，成書約於公元前100年，匯集了周朝以來的古代數學知識[1]。全書以問題集形式編纂，共收錄246個問題；在一個或數個問題之後，列出解答與對應解法，但沒有證明。這些問題按性質與解法分為九大類：方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股。今天我們使用的「方程」一詞即源自卷八章名。方程章專門討論線性方程組，共計18題，其中第一個問題給出完整的解法，稱為「方程術」，抄錄於下[2]： 方程：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？ 答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一，中禾一秉，四斗、四分斗之一，下禾一秉，二斗、四分斗之三。 術曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。餘如中禾秉數而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。餘如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。