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給定一個 階矩陣 ,對於任意 維非零向量 ,如何判斷 是否存在解?倘若有解,又有多少組解?線性方程 的解存在與否和 的行空間 (column space) 及 向量有關,解的唯一性則和 的零空間 (nullspace) 有關。我們先討論唯一性問題,見下列定理。
唯一性定理: 有唯一解 (若解存在) 當且僅當 有唯一解 。
換句話說,若矩陣 的零空間 僅含零向量,則 有唯一解,反之亦然。證明於下。假設 使得 。若 , 稱為特解 (special solution),則 有通解 (general solution) , 為任意純量,因為
,
這說明 有無窮多組解。相反的,如果 有相異解,設 滿足 ,,就有
,
故 有非零解 ,也就證得原命題。另外,欲進一步了解此定理的幾何觀點,請參閱“Ax=b 和 Ax=0 的解集合有什麼關係?”。
矩陣向量乘積 可表示為 的行向量線性組合,如下:
。
由此得知惟有當 屬於 的行空間 , 才存在解。下面我介紹另一個等價檢查方法,稱作 Fredholm 二擇一定理 (alternative theorem),它的基本原理建立在行空間 的正交補餘,即 (見“線性代數基本定理(二)”,“正交補餘與投影定理”)。以下考慮實矩陣 ,如欲推廣至複矩陣,僅需將 替換為共軛轉置 。
存在性定理(Fredholm 二擇一定理): 存在解,當且僅當 ,其中 為滿足 的任何向量。
換一個說法:若 正交於左零空間 ,則 有解,反之亦然。證明於下。若 不存在解,亦即 不屬於 ,利用直和性質 , 維向量 可唯一表示成 ,其中 ,, (否則 屬於 ),再利用正交性質 ,可得
。
另一方面,若 至少有一解 ,對於任意 滿足 ,即有
,
因此得證。
給定一個 階矩陣 ,對任意 維向量 , 的解可能有哪些形式?透過解析 的簡約列梯形式,我們可以完整地回答此問題,詳細討論請見“由簡約列梯形式判斷線性方程解的結構”。