每週問題 April 29, 2013

Posted on 04/29/2013 by ccjou

這是關於分塊矩陣秩的證明問題。

Let A be an invertible matrix. If

\mathrm{rank}\begin{bmatrix} A&B\\ C&D \end{bmatrix}=\mathrm{rank}A,

prove that D=CA^{-1}B.

 
參考解答：

給出的條件說明 \begin{bmatrix} C&D \end{bmatrix} 的每一列都可表示成 \begin{bmatrix} A&B \end{bmatrix} 的列的線性組合。因為 A 可逆，分塊矩陣 \begin{bmatrix} A&B \end{bmatrix} 有線性獨立的列。所以，存在唯一 E 使得

\begin{bmatrix} C&D \end{bmatrix}=E\begin{bmatrix} A&B \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} EA&EB \end{bmatrix}。

合併以上結果，D=EB=CA^{-1}B。

PowSol-April-29-13

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