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令 為一 階矩陣。矩陣 的特徵值形成的集合稱為矩陣譜 (spectrum),記為 。現實應用中矩陣難免引入擾動,我們非常關心特徵值會有多大的變異,其中一部分固然來自擾動的直接衝擊,另一部分則取決於矩陣的固有性質。正規矩陣 的標記是 和 滿足交換律 ,並擁有一個令人稱頌的性質:可么正對角化,意思是 可分解為 ,其中 ,,且 是么正 (unitary) 矩陣, (見“特殊矩陣 (2):正規矩陣”)。因為這個特性,正規矩陣特徵值的變化上界完全由擾動決定,所以相對不敏感。然而,對於非正規矩陣,縱使微小的擾動也可能引發特徵值的巨大改變 (見“特徵值的擾動分析”)。見下例:
。
矩陣 有重複的特徵值 ,但僅有一個線性獨立的特徵向量,因此不可對角化,自然是非正規矩陣。設微擾矩陣 的元 是一極小的正數。矩陣 有相異特徵值 ,但仍非正規矩陣。考慮一般情況,為了探討 的特徵值受到微擾矩陣 的影響,在 的前提下,我們可以隨意設定 ,然後觀察收集 的特徵值。這個思想實驗的結果稱為矩陣 的偽譜 (pseudospectrum),有下列三種等價的表達式:
明顯地,當 ,偽譜 收斂至矩陣譜 。本文將證明這三種表達是等價的,並介紹幾個偽譜的性質 (取自[1,2])。
若 ,則 屬於上述三個 。以下假設 。為便利推演,我們設定 是2-範數 (見“矩陣範數”)。下面是三種偽譜等價表達式的證明。
:給定 且 ,假設 ,故知存在一 且 ,使得 。乘開上式,改寫為 。使用矩陣範數不等式,可得
,
即證明 。
:假設 ,必定存在 使得 。令 。合併以上結果,
,
故單位向量 滿足 。
:假設存在 且 使得 。我們要證明存在 且 使得 。令 且 滿足 ,其中 。設 ,則
,
表明 ,且 。
下面介紹偽譜的一些基本性質。對於 ,我們定義兩集合之和為 。
(1) 緊緻性: 是 的一個緊集 (compact set)。
矩陣的特徵值為矩陣各元的連續函數 (見“特徵值的連續性”)。根據第一個定義式,我們可以將 看成是矩陣 通過一連續函數 (即特徵值抽取函數) 的值域。因為 是一緊集,經連續函數的值域仍為緊集,故可推論 是一緊集。
(2) 平移:若 ,則 。
當矩陣與一純量矩陣相加,矩陣譜以線性方式改變,即有 ,使用第一個定義式即證得所求。
(3) 純量乘法:若 ,則 。
當矩陣乘以一純量時,矩陣範數以線性方式改變。設 ,根據第二個定義式,
,
此即 。
一 階矩陣 的數值域 (numerical range) 定義為 (見“數值域”) 。下面性質說明偽譜與數值域的包容關係。
(4) 數值域之偽譜包容性:,其中 。
若 ,根據第一個定義式,可知存在 且 使得 。所以存在 且 滿足 ,也就有
,
其中 且 。因為 ,可知 位於半徑等於 的圓盤內,即 。
(5) 相似矩陣之偽譜包容性:若 ,則 ,其中 是條件數。
假設 ,使用矩陣範數不等式,可得
故證明 。若 為一么正矩陣,則 ,可知偽譜具有么正相似不變性,即 。若 可對角化為 ,利用性質 (2) 可證明 。
與數值域相比,偽譜的研究社群顯得冷清許多,可能有兩個原因。第一,矩陣譜 是一離散集合,因此隨著微擾 改變的偽譜 未必是連通集,並且不保證是凸集 (見[2]圖例3-6),故而喪失了凸集擁有的美好性質,但數值域則沒有這些遺憾。第二,性質 (4) 說明偽譜 被 的數值域 和圓盤 之和所包含。這意味,在很大的程度上,數值域足以覆蓋偽譜所要解決的問題範疇。
參考來源:
[1] Pseudospectra Gateway
[2] Scholarpedia: Pseudospectrum