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向量算子是向量分析 (vector calculus 或 vector analysis) 的馱馬,最重要的算子包括梯度 (gradient)、散度 (divergence) 與旋度 (curl)。令 是一開集, 是一次連續可微函數 (以 表示),且 是定義於 的一 向量場 (vector field)。所謂向量場其實就是一個向量函數,例如,
,
有些物理和微積分課本將向量場 表示為
,
其中 是 的標準單位向量 (線性代數慣用的對應記號為 )。為便利表達,我們將微分算子 (讀作nabla) 視為一向量:
,
這裡 是偏微分算子。函數 的梯度 (grad),向量場 的散度 (div) 和旋度 (curl) 定義如下:
散度和旋度的定義很容易混淆,初接觸時不妨用助記術 (mnemonics) 幫助聯想:散度 (div) 和內積 (dot) 的第一個英文字母都是「d」,旋度 (curl) 和外積 (cross product) 的第一個英文字母都是「c」。通過微分形式 (differential form) 和外微分 (exterior derivative) 可以幫助我們理解這些向量算子的幾何意義,在此不深入討論,本文僅利用行列式和基礎向量運算推導梯度、散度和旋度的一些恆等式。
我們可以從 Jacobian 矩陣得到 和 (見“Jacobian 矩陣與行列式”)。向量場 的 Jacobian 矩陣為
。
觀察得知 。寫出 的卡氏分解 ,其中 是對稱部分, 是反對稱部分,如下:
。
觀察發現 的三個元 即為 的下列對應元:
。
另一個方式是透過行列式運算。令 ,,。為方便書寫與計算,我們將外積 以行列式表示為
。
注意,在計算行列式時,向量 視同純量。同樣地, 也可以用行列式表示如下 (見“答張盛東──關於外積與行列式的關係”):
。
下面我們運用行列式來推導幾個梯度、散度和旋度的公式。
(1) 對於任一 函數 ,梯度的旋度為零向量:
。
寫出 ,根據定義式,
偏微分具有對稱性 (或說可交換性),即 ,故每一項都等於零。
(2) 對於任一 向量場 ,旋度的散度為零:
。
使用行列式表達式,由偏微分的對稱性可推論
。
另一個較為「激進」的說法是行列式有相同的兩列因此為零。
(3) 對於任一 函數 ,梯度的散度稱為 的 Laplacian:
,
其中 Laplace 算子定義為 。直接用內積運算可得
。
對於向量場,我們也可以按類似方式定義
。
(4) 對於任一 向量場 ,
。
這個等式將梯度、散度、旋度和 Laplacian 四個算子聯繫在一起。證明於下:寫出 ,套用行列式表達式,
上式看似複雜,幸好只要化簡其中一項,利用對稱性即可推得其餘項。直接乘開 的係數或使用行列式餘因子公式化簡,過程如下:
再將 和 替換為 和 ,以及 和 便得到其他二項。整理結果,可得
,
此即所求。
最後我列舉一些常用的向量分析公式[1],證明見“梯度、散度與旋度的恆等式”。以下 是常數, 和 是純量函數, 是向量場。
- ,
參考來源:
[1] Jerrold E. Marsden 與 Anthony J. Tromba 合著 Vector Calculus,1976,頁166。
感謝老師精彩的解說!
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您文章裡頭談到:
旋度的散度為零,另一個較為「激進」的說法是行列式有相同的兩列因此為零。
我以前也曾經有這個想法,用行列式的性質,一眼看出,它等於零!
但是所看過幾本向量分析的書,皆沒這樣寫。
大概是我看過的書不多吧!
我不知道,是否有哪一本向量分析的教科書,真的這樣寫?
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另外,維基百科談「旋度」
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%97%8B%E5%BA%A6
有一句話,行列式記號只有形式上的意義,因為真正的行列式中的係數應該是數,而不是i, j, k這樣的向量。這種表示方法只是便於記憶旋度在直角坐標系中的表達式。
我看到這句話,思考著,行列式裡,真的必需存放「數值」嗎?運算子放在行列式之中,只是方便記憶嗎?
我只知道一本向量分析老書:Marsden & Tromba 的Vector calculus, 1976, 上面的那一堆公式都是取自該書。那本書並沒有直接採用行列式性質來證明(2),而是將行列式展開後利用偏微分性質得到結論,也沒有提供(4)的證明。如維基所述:我們將外積寫成行列式確實僅有形式上的意義,因為同在一列的i,j,k是向量不是數字,同在一列的Dx, Dy,Dz是微分算子也不是數字。但是,因為他們的行列式表達式具有規律(同在一列),並遵守數的運算規則,即結合律,交換律,分配律等等,所以我才敢大膽地使用行列式性質。我想嚴謹正派的數學家不會走這種旁門左道的。
數學的發展過程,有時先出現「不嚴謹」的計算過程,後人以「嚴謹」的方式,詳加論證。
我所知道的,像是牛頓與萊布尼茲的微積分,經過三百餘年,Weierstrass與Cauchy等人,作了嚴謹證明。
歐拉的著作,原本份量已不少,原書的許多地方僅是輕描淡寫。有人用詳細論證方式,重新演算,變成更厚之巨冊。
另外,複數域的自然指數Exp(z)還沒證明,(我忘了是哪位數學家) 竟然把它比照實數域的Exp(x)使用,這是不是很「危險」?很「不嚴謹」?萬一錯了怎麼辦?幸好還能算出答案,早年卻沒有證明。後人發展「複變函數論」,才真的證明Exp(z)的微分、積分等各種性質,不僅表達式與實數域的Exp(x)相似,也是可靠的!
這回在老師的部落格談到,微分運算子放在行列式裡頭,div (curl F) 的演算,兩列微分運算子相同,由行列式的性質可知,行列式值為零。雖然「不嚴謹」,看起來卻是一種幫助「認知」的好方法。
以上這些,我想表達,數學教育,有時太過於著重「嚴謹」,而使學生畏懼。
如果先享受「概念式」學習,然後,有興趣詳細研究的人,可以升級到「嚴謹」階段。循序漸進教學,可以讓更多人喜歡數學。
我常來周老師的部落格瀏覽,就是喜歡看看「不一樣」的論述方式,得到許多靈感啟發!
感謝老師持續寫作,嘉惠許多學生。
我的專業並不是數學,所以有時候不知不覺行文鬆散。今天如果沒有數學家這個專業,說不定每一個人都願意依據自己的風格自由表述「數學」,像記錄旅遊心得那樣自在。很遺憾,現實並非如此。如果我的老師看到我將2階行列式換成3階行列式,肯定不以為然。畢竟,向來只有降階,哪有反其道而行的?照目前的氛圍,那些渴望擁有自由靈魂的年輕人怎麼可能會喜歡數學?
在老師這篇文章中,我個人認為最精彩的壓軸好戲,在於 curl (curl F) 的演算,簡潔明瞭!以前從來沒看過這樣的運算過程。
這篇的(向量場的Jacobin)怎麼和林琦焜老師的向量分析寫得不一樣??剛好取轉至
本文採用的Jacobian matrix是通用的分子布局慣例,請見維基百科:
http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant
老師我想問個白癡問題= =”
後面公式7應該是散度的地方把三角形排在後面是什麼意思
公式7是計算梯度,不是散度。
老師你好 :
我也有一樣的問題, 公式7等號右邊第一項, 有一個先寫F,再寫倒三角形, 兩者作點積, 這是甚麼是意思呢?
這應該不是散度吧?
因為散度應該是先寫倒三角形再寫F !!
如果老師您有看到的話, 可以煩請您撥冗回覆一下嗎, 感激不盡….謝謝
第一項是一個向量(場):
以上若有不對,請老師再修改。
想要靠左對齊,出現 Formula does not parse。
我對Latex操作不熟悉,請見諒!
我發現我弄錯了!算出來不應該是純量。
大概是這樣吧!
抱歉,我對於Latex不熟悉,嘗試很多次錯誤,才修改完成。
我將LaTeX修改了。語法是
\begin{aligned}
p(x)
&=f(x)+g(x)\\
&=h(x)-l(x)
\end{aligned}
顯示如下:
這樣的符號書寫,對於記憶有幫助。
初學者卻可能弄不清楚它的意義,剛開始可以先練習詳細寫出每個項目,
寫兩三次,大概便能領略簡單符號的意涵。
上文列舉的18個公式,即便我們完成推導證明,多數都難以直覺理解。玄之又玄。
「玄之又玄」我想到「旋之又旋」,也就是 ,
在高中三年級時,學校課程只教簡單的微積分,我由中央日報看到一本「向量微積分」的新書廣告,便很好奇,到書局拿起來翻閱,幾分鐘後就決定購買。
書裡頭,我最感興趣的,就是
,但是不瞭解其用途,因為直觀看不出意義。
經過二十多年,我看了交通大學出版社的《電磁學》課程,才知道這條數學式的應用,瞭解之後,實在很高興!
14題公式有問題嗎?我推導不是0
轉貼網友林聖興的迴響:
老師您好:
看見有人對於《梯度、旋度與散度》第14條公式有疑問,我一時好奇,試著推演看看,答案是0,沒錯!
以MathType打字,附檔裡面有彩色,我不大會用latex的方式操作網頁回覆,寄給您參考。
Click to access divgrad-f-cross-grad-g.pdf
厲害,方法和公式18要加變數才能看的出來
請教老師
將平行於x,y平面的平面族 ,函數方程式設定成z(x,y,z)=z .
x,y為無效變數 , z為有效變數.
當z=z1 => 得到 z(x,y,z1) =z1 平面
當z=z2 => 得到 z(x,y,z2) =z2 平面
當z=z3 => 得到 z(x,y,z3) =z3 平面
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老師覺得恰當或為不恰當 ???
謝謝
z(x,y,z1) =z1(2,3) 平面 修改成 函數名稱 大寫 的 Z(x,y,z1) =z1 平面 ,謝謝