牛頓的二項式定理 (上)

本文的閱讀等級：初級

公元1676年，萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 向牛頓 (Isaac Newton) 探詢廣義二項式定理的發現過程。6月13日，牛頓透過英國皇家學會 (The Royal Society) 秘書奧登堡 (Henry Oldenberg) 轉寄回函^[1]。在這封信中，牛頓寫出下列無窮級數，並稱之為定理^[2]：

$\displaystyle (P+PQ)^{m/n}=P^{m/n}+\frac{m}{n}AQ+\frac{m-n}{2n}BQ+\frac{m-2n}{3n}CQ+\frac{m-3n}{4n}DQ+\cdots$

牛頓解釋 $P+PQ$ 是所考慮的二項式， $P$ 是第一項， $Q$ 是剩餘項除以 $P$ ； $m/n$ 可以是整數或分數，為正或負。他舉了一個例子， $(a^3+bbx)^{-2/3}$ 對應 $P=a^3$ ， $Q=bbx/a^3$ ， $m=-2$ ， $n=3$ ^[3]。等式右邊的 $A$ 代表第一項 $P^{m/n}$ ， $B$ 代表第二項 $\frac{m}{n}AQ$ ，餘此類推。換句話說， $(P+PQ)^{m/n}=A+B+C+D+\cdots$ 。從現代人的眼光來看，牛頓描述的公式顯得深奧晦澀。為甚麼 $P$ 要出現兩次？何不將 $P+PQ$ 寫成 $P+Q'$ ？再來，為甚麼不展開等號右邊各項，列出 $A, B, C, D$ 的顯式表達？原因無他，牛頓的用意在於簡化計算，稍後將說明。我們要討論的第一個問題，也就是萊布尼茲的疑問：牛頓是怎麼得到這條公式的？

Isaac Newton (1642-1727) From http://www.crystalinks.com/newton.jpg

萊布尼茲收到信之後表示希望瞭解更詳細的訊息，牛頓遂於同年10月24日寄出第二封信。他在信裡闡述自己如何受到沃利斯 (John Wallis) 的內插法啟發而推得適切的公式，甚至透露早在12年前，他身為劍橋大學的大學生即已獲知此法。引領牛頓發現二項式定理的前導問題是為了計算圓周率 $\pi$ 。考慮單位圓 $x^2+y^2=1$ 所在的第一象限面積，算式如下：

$\displaystyle \frac{\pi}{4}=\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx$ 。

牛頓的難題是如何以無窮級數表示 $(1-x^2)^{1/2}$ ？跟隨沃利斯的腳步，他考察較為單純的 $(1+x)^r$ 展開式。當 $r$ 是正整數時，前面幾個式子為

$\displaystyle\begin{aligned} (1+x)^0&=1+0\cdot x+0\cdot x^2+0\cdot x^3+0\cdot x^4+0\cdot x^5+\cdots\\ (1+x)^1&=1+1\cdot x+0\cdot x^2+0\cdot x^3+0\cdot x^4+0\cdot x^5+\cdots\\ (1+x)^2&=1+2\cdot x+1\cdot x^2+0\cdot x^3+0\cdot x^4+0\cdot x^5+\cdots\\ (1+x)^3&=1+3\cdot x+3\cdot x^2+1\cdot x^3+0\cdot x^4+0\cdot x^5+\cdots\\ (1+x)^4&=1+4\cdot x+6\cdot x^2+4\cdot x^3+1\cdot x^4+0\cdot x^5+\cdots\\ (1+x)^5&=1+5\cdot x+10\cdot x^2+10\cdot x^3+5\cdot x^4+1\cdot x^5+\cdots\\ &\vdots \end{aligned}$

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) From http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6a/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg

作為一個物理學家，牛頓習慣採用實驗歸納法。憑藉直覺，他設想 $(1+x)^{1/2}$ 必定介乎 $(1+x)^0$ 和 $(1+x)^1$ 之間，於是列了一張表，將上式的係數抄錄下來，期望通過內插法推得 $r=1/2$ 該列的係數。

$\displaystyle \begin{array}{cccccccc} r & \vline&1& x & x^2& x^3 & x^4 & x^5\\\hline 0& \vline &1 & 0& 0 & 0 & 0 & 0\\\hline 1/2 &\vline& & & & & & \\\hline 1& \vline&1 & 1& 0 & 0 & 0 & 0\\\hline 3/2 &\vline& & & & & & \\\hline 2&\vline& 1 & 2& 1 & 0 & 0 & 0\\\hline 5/2 &\vline& & & & & & \\\hline 3& \vline&1 & 3& 3 & 1 & 0 & 0\\\hline 7/2 &\vline& & & & & &\\\hline 4&\vline& 1 & 4& 6 & 4 & 1 & 0\\\hline 9/2 &\vline& & & & & &\\\hline 5& \vline&1 & 5& 10 & 10 & 5 & 1\\\hline \end{array}$

牛頓的「不可能的任務」要猜出上表遺漏的部分，這有點像「數獨」(Sudoku) 或「填字遊戲」。先看第一行^[4]，無疑地，全部常數項的數值應為 $1$ 。第二行 $x$ 項的係數呈現等差數列 $1,2,3,4,5$ ，意味 $(1+x)^r$ 中 $x$ 項的係數應為 $r$ 。再看第三行 $x^2$ 項的係數 $1, 3, 6, 10$ ，牛頓知道這是三角形數 $T_n$ (見“等差級數和公式的無言證明”)，如下圖所示：

三角形數

第 $n$ 個三角形數的公式是 $T_n=n(n+1)/2$ ，也就是說， $(1+x)^r$ 中 $x^2$ 項的係數應為 $r(r-1)/2$ 。至此，牛頓沉靜地將數值填入表中：

$\displaystyle \begin{array}{cccccccc} r &\vline& 1& x & x^2& x^3 & x^4 & x^5\\\hline 0&\vline& 1 & 0& 0 & 0 & 0 & 0\\\hline 1/2 &\vline&1 &1/2 &-1/8 & & & \\\hline 1&\vline& 1 & 1& 0 & 0 & 0 & 0\\\hline 3/2 &\vline& 1&3/2 & 3/8& & & \\\hline 2& \vline&1 & 2& 1 & 0 & 0 & 0\\\hline 5/2 & \vline&1& 5/2& 15/8& & & \\\hline 3& \vline&1 & 3& 3 & 1 & 0 & 0\\\hline 7/2 & \vline&1& 7/2& 35/8& & &\\\hline 4& \vline&1 & 4& 6 & 4 & 1 & 0\\\hline 9/2 & \vline&1& 9/2& 63/8& & &\\\hline 5& \vline&1 & 5& 10 & 10 & 5 & 1\\\hline \end{array}$

像多數的數學家一樣，牛頓相信數學的基本形式無所不在。既然常數項是 $1$ ， $x$ 項的係數是 $r$ ， $x^2$ 項的係數是 $r(r-1)/2$ ，那麼 $x^3$ 項的係數應當為 $r(r-1)(r-2)/c$ 。代入 $r=3$ ，可得 $3\cdot 2\cdot 1/c=1$ ，故 $c=6$ 。類似的推論可以持續進行， $(1+x)^r$ 中 $x^4$ 項的係數為 $r(r-1)(r-2)(r-3)/4!$ ， $x^5$ 項的係數為 $r(r-1)(r-2)(r-3)(r-4)/5!$ 。牛頓將表格填滿，結果如下：

$\displaystyle \begin{array}{cccccccc} r &\vline& 1& x & x^2& x^3 & x^4 & x^5\\\hline 0&\vline& 1 & 0& 0 & 0 & 0 & 0\\\hline 1/2 &\vline&1 &1/2 &-1/8 &1/16 &-5/128 & 7/256\\\hline 1&\vline& 1 & 1& 0 & 0 & 0 & 0\\\hline 3/2 &\vline& 1&3/2 & 3/8&-1/16 & 3/128& -3/256\\\hline 2&\vline& 1 & 2& 1 & 0 & 0 & 0\\\hline 5/2 &\vline& 1& 5/2& 15/8& 5/16&-5/128 & 3/256\\\hline 3&\vline& 1 & 3& 3 & 1 & 0 & 0\\\hline 7/2 &\vline& 1& 7/2& 35/8& 35/16& 35/128 &-7/256\\\hline 4&\vline& 1 & 4& 6 & 4 & 1 & 0\\\hline 9/2 &\vline& 1& 9/2& 63/8& 105/16& 315/128&63/256\\\hline 5&\vline& 1 & 5& 10 & 10 & 5 & 1\\\hline \end{array}$

從上表可歸結出

$\displaystyle (1+x)^r=1+rx+\frac{r(r-1)}{2!}x^2+\frac{r(r-1)(r-2)}{3!}x^3+\cdots$

若 $r$ 為實數， $k$ 為整數，定義二項式係數

$\displaystyle \binom{r}{0}=1,~~\binom{r}{k}=\frac{r(r-1)\cdots(r-k+1)}{k!},~~k\ge 1$ 。

牛頓的二項式展開公式可以用二項式係數表示，今人稱之為廣義二項式定理：

$\displaystyle (1+x)^r=\binom{r}{0}+\binom{r}{1}x+\binom{r}{2}x^2+\binom{r}{3}x^3+\cdots$

一般所稱的二項式定理專指 $r$ 為正整數的情況。

牛頓並沒有提出二項式定理的證明。按照歐幾里得的規範，牛頓的二項式定理不能算是一個「定理」，稱作「牛頓猜想」比較恰當。為了鞏固他的「定理」，牛頓舉例申明算式確實成立。譬如，以 $-x^2$ 取代 $x$ ，可得

$\displaystyle\begin{aligned} (1-x^2)^{1/2}&=1+\frac{1}{2}(-x^2)+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)}{2}(-x^2)^2+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{6}(-x^2)^3+\cdots\\ &=1-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{16}x^6-\cdots \end{aligned}$

他將上式等號右邊平方，得到

$\displaystyle\begin{aligned} &\left(1-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{16}x^6-\cdots\right)\left(1-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{16}x^6-\cdots\right)\\ &=1-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{8}x^4+\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{16}x^6+\frac{1}{16}x^6-\frac{1}{16}x^6+\frac{1}{16}x^6-\cdots\\ &=1-x^2+0x^4+0x^6+\cdots \end{aligned}$

牛頓另舉了其他例子，並宣稱乘開後確認無誤：

$\displaystyle\begin{aligned} (1-x^2)^{3/2}&=1-\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{8}x^4+\frac{1}{16}x^6+\cdots\\ (1-x^2)^{1/3}&=1-\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{9}x^4-\frac{5}{81}x^6-\cdots\\ \end{aligned}$

牛頓相信有限個項成立的公式可以自動延伸至無限的情況，不過今天的數學家不會認同牛頓處理無窮級數的實驗 (或經驗主義) 手法。即便牛頓論證的邏輯基礎並不穩固，但他的數學直覺與洞察力的確令人激賞。

推廣至一般的二項式 $(a+b)^r$ 更讓我們見識到牛頓的功力。牛頓從 $(1+x)^r$ 的展開式觀察出第 $k$ 項可由第 $(k-1)$ 項算得：

$\displaystyle \frac{r(r-1)\cdots(r-k+1)}{k!}x^k=\left(\frac{r(r-1)\cdots(r-k+2)}{(k-1)!}x^{k-1}\right)\left(\frac{r-(k-1)}{k}x\right)$ 。

雖然牛頓沒有提出證明，但他明瞭 $x$ 的絕對值應小於 $1$ 以使無窮級數收斂。假設 $\vert a\vert>\vert b\vert$ ，寫出 $(a+b)^r=a^r(1+\frac{b}{a})^r$ ，並令 $P=a$ ， $Q=b/a$ 。在實際應用中， $r$ 通常為一分數，故令 $r=m/n$ 。這麼一來，二項式定理可以表示為下列迭代公式：

$\displaystyle\begin{aligned} (P+PQ)^{m/n}&=P^{m/n}(1+Q)^{m/n}\\ &=P^{m/n}\left(1+\frac{m}{n}Q+\frac{\frac{m}{n}\left(\frac{m}{n}-1\right)}{2}Q^2+\frac{\frac{m}{n}\left(\frac{m}{n}-1\right)\left(\frac{m}{n}-2\right)}{2\cdot 3}Q^3+\cdots\right)\\ &=P^{m/n}+\frac{m}{n}AQ+\frac{m-n}{2n}BQ+\frac{m-2n}{3n}CQ+\frac{m-3n}{4n}DQ+\cdots \end{aligned}$

其中 $A$ 代表第一項 $P^{m/n}$ ， $B$ 代表第二項 $\frac{m}{n}AQ$ ，餘此類推。

牛頓的二項式定理有甚麼實際用途呢？他在信中提及此定理可以簡化開方根的計算。舉例來說，考慮 $\sqrt{8}$ 。改寫為 $\sqrt{8}=\sqrt{9-1}=\sqrt{9-9(1/9)}$ ，將 $P=9$ ， $Q=-1/9$ ， $m=1$ ， $n=2$ 代入牛頓的定理，計算等號右邊的係數：

$\displaystyle\begin{aligned} A&=9^{1/2}=3\\ B&=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \left(-\frac{1}{9}\right)=-\frac{1}{6}\\ C&=\frac{1-2}{2\cdot 2}\cdot \left(-\frac{1}{6}\right)\left(-\frac{1}{9}\right)=-\frac{1}{216}\\ D&=\frac{1-2\cdot 2}{3\cdot 2}\left(-\frac{1}{216}\right)\left(-\frac{1}{9}\right)=-\frac{1}{3888}. \end{aligned}$

使用這四個數值項近似，可得

$\displaystyle\begin{aligned} \sqrt{8}&\approx A+B+C+D\\ &=3-\frac{1}{6}-\frac{1}{216}-\frac{1}{3888}=2.828446... \end{aligned}$

此近似值與 $\sqrt{8}=2.828427\ldots$ 的誤差為 $10^{-4}$ 。相同的技巧可以應用於立方根，四次方根，甚至任何次方根的倒數 ( $m/n$ 為負數)。考察上面的計算過程，我們不免感到震驚，原來牛頓的迭代公式的意圖在於套用前一個步驟的結果，故使所需的計算量減至最少。三百多年前，在計算機尚未誕生的時代，牛頓的二項式定理不啻是一個偉大的成就。

註解與來源：
[1] James R. Newman，The World of Mathematics，第一冊，1956，頁519-524。
[2] 牛頓寫出的公式為

$\displaystyle \overline{P+PQ}\vert\frac{m}{n}=P^{m/n}+\frac{m}{n}AQ+\frac{m-n}{2n}BQ+\frac{m-2n}{3n}CQ+\frac{m-3n}{4n}DQ+\cdots$

其中 $\overline{P+PQ}\vert\frac{m}{n}$ 就是今日我們使用的 $(P+PQ)^{m/n}$ 。
[3] 不知道甚麼原因，牛頓經常把平方項 $b^2$ 寫成 $bb$ ，譬如 $(1+xx)^{1/2}$ 。
[4] 在台灣，橫向稱為列，縱向稱為行。在中國大陸，橫向稱為行，縱向稱為列。

繼續閱讀：

牛頓的二項式定理 (下)

7 Responses to 牛頓的二項式定理 (上)

Watt Lin says:

11/01/2013 at 10:43 pm

「即便牛頓論證的邏輯基礎並不穩固，但他的數學直覺與洞察力的確令人激賞。」
這句話，很值得深思！

牛頓似乎還有其他「直覺」，在「哲學」領域。

古今中外，還沒得到科學嚴謹證明的某些想法，可能被歸類在「哲學」範疇。
已得到科學詳細證明的部分，很容易歸類在「科學」之中。

然而「科學」與「哲學」，也有共同的部分，能夠與「直覺」對應，也能嚴謹論證。
未來，或許陸續有人作一些聯想，與仔細研究，
循著古人的思考途徑，找尋科學發展的新方向。

Watt Lin says:

11/01/2013 at 11:00 pm

牛頓經常把平方項 $b^2$ 寫成 $bb$ ， $x^2$ 寫成 $xx$ 。
笛卡兒，也是像牛頓這樣寫。
到了歐拉(Euler)，使用 $x^2$ 之型式，受到後人學習，
大概因為Euler是個著名的人，影響力大，多個數學符號，是由Euler開始造成流行。
高斯也像牛頓那樣寫 $xx$ ，雖然高斯的年代在歐拉之稍後，然而卻還沒受到歐拉使用符號之影響。
(參考書目：《改變世界的17個方程式》第102頁，商周出版)

- ccjou says:
  
  11/02/2013 at 6:43 am
  
  謝謝你提供的解釋。在牛頓給萊布尼茲的信中，他交互使用 $xx$ 和 $x^2$ ，前者約占8~9成。我好奇 $xx$ 是否有甚麼特殊的用意，或僅僅是一種習慣而已。
  
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jalin ju says:

01/28/2019 at 10:04 am

不好意思這個方法可以推導至虛數的冪次方嗎?

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