牛頓的二項式定理 (下)

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英國劍橋大學在1660年代並非現代人所認知的環境優美且人文薈萃的學術殿堂。當時劍橋的學術發展不僅落後歐洲大陸，同時還是一個危險的地方。劍橋居民有八千人，其中近三千名學生和教職員工，生活在占地不到一平方英里的城區。建築物人滿為患，白天商人、乞丐、失學兒童和穿黑長衫的學生擠在骯髒污穢的街道；夜晚城鎮昏暗無光，人身安全受到無所不在的盜賊威脅^[1]。表面上，學院維持著活躍的學術生活假象；實際上，學院的教學仍遵循古老的亞里士多德學說，有些教授長年霸佔教職卻不執教，學生寧願耽迷在小酒館尋歡作樂^[2]。1665年至1666年，英國爆發大規模的鼠疫，導致超過10萬人死亡，劍橋大學因此被迫關閉^[3,4]。1666年9月2日至5日，倫敦發生史上最嚴重的火災，大約六分之一的建築被燒毀，估計造成城市8萬人口之中的7萬居民無家可歸^[5]。儘管身處災禍四起的時代，特立獨行的牛頓依然專注於自己的學業，他在1665年發現廣義二項式定理，同年並獲得了學位。學校關閉的兩年中，牛頓在家鄉研究一套新的數學理論 (即微積分學)，直到1667年才以研究生身分重返劍橋大學三一學院。半個世紀後，年老的牛頓回憶萬有引力的雛型理論如何誕生時，他說^[6]：「所有這些皆在1665年至1666年的鼠疫期間產生的，因此這些日子是我發明及專注於數學與哲學最精華的歲月。」

1669年，牛頓身為研究生時完成了〈分析學〉(De analysi per aequationes numero terminorum infinitas)，他在論文中提出了一個利用廣義二項式定理計算圓周率的新方法。這是拉丁文版的〈分析學〉的首頁連結 DE ANALYSI。論文一開頭，牛頓寫出一個面積公式：

令任意曲線AD的底邊AB的垂直座標為BD；設 $\hbox{AB}=x$ ， $\hbox{BD}=y$ ，並令 $a, b, c$ 等為已知量， $m$ 和 $n$ 為整數。

規則1：若 $ax^{\frac{m}{n}}=y$ ，則 $\frac{an}{m+n}x^{\frac{m+n}{n}}=\hbox{ABD}$ 的面積。

以現代的數學語言來說，考慮 $f(t)=at^{m/n}$ ，欲計算曲線 $f(t)$ 底下從 $t=0$ 至 $t=x$ 的面積，運用積分運算可得

$\displaystyle \int_0^xat^{\frac{m}{n}}dt=\left.\frac{1}{\frac{m}{n}+1}at^{\frac{m}{n}+1}\right|_0^x=\frac{an}{m+n}x^{\frac{m+n}{n}}$ 。

緊接著牛頓提出規則2：若 $y$ 值由幾個項組成，同樣地，面積將由每一單項的面積所組成。這就是我們熟知的積分加法規則，譬如，曲線 $f(t)=t^3+t^{1/2}$ 底下的面積是

$\displaystyle \int_0^x(t^3+t^{1/2})dt=\int_0^xt^3dt+\int_0^xt^{1/2}dt=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^{3/2}$ 。

根據這兩條規則，牛頓得以利用先前發現的廣義二項式定理來計算圓周率 $\pi$ 。

考慮單位圓 $x^2+y^2=1$ 在第一象限的面積，算式如下：

$\displaystyle \frac{\pi}{4}=\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx$ 。

套用廣義二項式定理 (見“牛頓的二項式定理 (上)”)

$\displaystyle (1+x)^r=1+rx+\frac{r(r-1)}{2!}x^2+\frac{r(r-1)r(r-2)}{3!}x^3+\cdots$

以 $-x^2$ 取代 $x$ ，設 $r=1/2$ ，分項積分可得

$\displaystyle\begin{aligned} \frac{\pi}{4}&=\int_0^1\left(1-\frac{1}{2}x^2+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)}{2!}x^4-\frac{\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{3!}x^6+\cdots\right)dx\\ &=\int_0^1dx-\frac{1}{2}\int_0^1x^2dx+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)}{2!}\int_0^1x^4dx-\frac{\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{3!}\int_0^1x^6dx+\cdots\\ &=1-\frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{2^2\cdot 2!\cdot 5}-\frac{3}{2^3\cdot 3!\cdot 7}-\frac{3\cdot 5}{2^4\cdot 4!\cdot 9}-\frac{3\cdot 5\cdot 7}{2^5\cdot 5!\cdot 11}-\cdots \end{aligned}$

採用前六個項的近似結果為 $\pi\approx 3.17031475$ 。牛頓立刻察覺上式的收斂速度還有很大的改善空間，憑藉強大的幾何學底蘊，他轉而尋找其他方法。

牛頓考慮中心C在點 $(1/2,0)$ ，半徑為 $1/2$ 的圓，見下圖。多數人目前恐怕還看不出牛頓選擇這個特殊半圓的用意何在。寫出此圓的方程式 $\displaystyle (x-1/2)^2+y^2=(1/2)^2$ ，乘開化簡可解出坐落於第一象限的半圓：

$\displaystyle y=\sqrt{x-x^2}=x^{1/2}(1-x)^{1/2},~~0\le x\le 1$ 。

牛頓設原點為A，設B為原點A和圓心C的中點，即點 $(1/4,0)$ ，圓上一點D使得BD垂直於半徑AC。接下來，牛頓再度向我們展示匠心獨具的創意──以兩種截然不同的方法計算藍色區域ABD的面積。

牛頓用來計算圓周率的特殊半圓

第一個方法以積分計算。將 $(1-x)^{1/2}$ 的二項式展開式代入半圓公式，分項積分可得

$\displaystyle\begin{aligned} \hbox{Area(ABD)}&=\int_0^{1/4}x^{1/2}(1-x)^{1/2}dx\\ &=\int_0^{1/4}\left(x^{1/2}-\frac{1}{2}x^{3/2}+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)}{2!}x^{5/2}-\frac{\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{3!}x^{7/2}+\cdots\right)dx\\ &=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^{3/2}-\frac{2}{5\cdot 2}\left(\frac{1}{4}\right)^{5/2}-\frac{2}{7\cdot 2^2\cdot 2!}\left(\frac{1}{4}\right)^{7/2}-\frac{2\cdot 3}{9\cdot 2^3\cdot 3!}\left(\frac{1}{4}\right)^{9/2}\\ &~~~~-\frac{2\cdot 3\cdot 5}{11\cdot 2^4\cdot 4!}\left(\frac{1}{4}\right)^{11/2}-\cdots\\ &=\frac{1}{3\cdot 2^2}-\frac{1}{5\cdot 2^5}-\frac{1}{7\cdot 2^8\cdot 2!}-\frac{3}{9\cdot 2^{11}\cdot 3!}-\frac{3\cdot 5}{11\cdot 2^{14}\cdot 4!}-\cdots\\ &=\frac{1}{12}-\frac{1}{160}-\sum_{k=2}^\infty\frac{(2k-3)!}{2^{4k}k!(k-2)!(2k+3)}. \end{aligned}$

另一個方法以平面幾何計算。因為DBC是直角三角形，由畢氏定理可知BD長度為 $\sqrt{3}/4$ ，因此三角形DBC的面積為 $\sqrt{3}/32$ 。又BC長度為CD長度的一半，表明 $\angle$ BCD $=60^\circ$ ，故扇形ACD的面積為 $\pi/24$ ，由此推知

$\displaystyle \hbox{Area(ABD)}=\frac{\pi}{24}-\frac{\sqrt{3}}{32}$ ，

其中 $\sqrt{3}$ 可由二項式定理算得，如下：

$\displaystyle\begin{aligned} \sqrt{3}&=2\sqrt{\frac{3}{4}}=2\left(1-\frac{1}{4}\right)^{1/2}\\ &=2\left(1-\frac{1}{2\cdot 4}-\frac{1}{2^2\cdot 4^2\cdot 2!}-\frac{3}{2^3\cdot 4^3\cdot 3!}-\frac{3\cdot 5}{2^4\cdot 4^4\cdot 4!}-\cdots\right)\\ &=2\left(1-\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^6\cdot 2!}-\frac{3}{2^9\cdot 3!}-\frac{3\cdot 5}{2^{12}\cdot 4!}-\cdots\right)\\ &=2\left(\frac{7}{8}-\sum_{k=2}^\infty\frac{(2k-3)!}{2^{4k-2}k!(k-2)!}\right) \end{aligned}$

比較上面兩種算法的結果，即得

$\displaystyle\begin{aligned} \pi&=24\hbox{Area(ABD)}+\frac{3\sqrt{3}}{4}\\ &=24\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{160}-\sum_{k=2}^\infty\frac{(2k-3)!}{2^{4k}k!(k-2)!(2k+3)}\right)+\frac{3}{2}\left(\frac{7}{8}-\sum_{k=2}^\infty\frac{(2k-3)!}{2^{4k-2}k!(k-2)!}\right)\\ &=\frac{253}{80}-6\sum_{k=2}^\infty\frac{(2k-3)!(2k+7)}{2^{4k}k!(k-2)!(2k+3)} .\end{aligned}$

牛頓最終使用展開式的前20項求出了 $\pi$ 值到小數點後16位數。他對於自己的圓周率逼近工作如此評論^[7]：「我羞於告訴你們我在做這些計算時到底算到多少位數，在當時我沒別的事可做。」

牛頓計算圓周率的過程存在兩個邏輯上的缺陷：第一，牛頓的廣義二項式定理僅是一個猜想，一百多年後，挪威數學家阿貝爾 (Nieles Henrik Abel) 才於1826年首次提出完整的證明。第二，牛頓假設無限級數的積分等於對個別項積分的和，在此的確成功，但後代數學家們可以找出許多反例來證明這是一個站不住腳的作法。牛頓的〈分析學〉完成於1669年，當時僅送交同事們私下傳閱，是否因為他也明白自己的方法並不周全故推遲至1711年才刊印發表則不得而知^[8]。

法國數學家拉格朗日 (Joseph-Louis Lagrange) 常說牛頓是迄今為止最偉大的天才，他曾經評價牛頓是「最幸運的人，因為我們無法再找到另一個世界系統來確立。」^[4]最偉大的天才牛頓究竟是一個怎麼樣的人呢？1727年牛頓去世，法國科學院秘書豐特奈爾 (Bernard Le Bovier de Fontenelle) 致了追悼詞，其中有一些關於牛頓人格特質的描述^[9]：

他生性溫柔，且特別愛靜。他寧可不為人知，也不希望那些自以為博學機智的文人，前來打擾他的生活。從他那些經常來往的信件，我們可以看到，有一些無的放矢的反對意見冒出來，他竟然放棄了出版計畫。[…] 天生溫柔的性格，通常也伴隨著謙遜。果然，在牛頓身上，他的謙遜一直不變；儘管大家同謀反對。他從不談論自己，也不輕蔑地議論別人。那些心懷惡意的人，找不到牛頓任何話柄；他一點都不虛榮。[…] 他沒有結婚，可能他根本就沒空去想這件事。首先，在壯年時，他就沉浸在一些又深入又持久的研究中。後來，他又擔任一個重要職務，而他始終勤於思考。就是這個思考讓他既沒有空閒，也沒有需要，去渴望家庭生活。

參考來源：
[1] Michael White，Isaac Newton: The Last Sorcerer，1999年，頁43。
[2] William Dunham，Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics，中文版《天才之旅》，1999年，頁186。
[3] 維基百科：倫敦大瘟疫
[4] 維基百科：艾薩克·牛頓
[5] 維基百科：倫敦大火
[6] 同 [2]，頁190。
[7] 同 [2]，頁203。
[8] 同 [2]，頁197-198。
[9] 《牛頓：天體力學的新紀元》，Jean-Pierre Maury 原著，林成勤譯，時報文化，1995年，頁122-123。

3 Responses to 牛頓的二項式定理 (下)

Watt Lin says:

11/05/2013 at 12:42 pm

有一本書《π的故事》由凡異出版社印行，民國68年初版，我買到的是民國73年的第三版，書中第113頁到123頁，描述牛頓計算圓周率的方法。
其中有幾個段落，我印象深刻，今天看了《現代啟示錄》的新文章，之後把《π的故事》拿出來再看一看。
第118頁：
「對牛頓這種超人來說，計算 π不過是彫蟲小技。在他的 “求導數與無窮級數” 書中，他只花了四行，還謙稱是 “順便一提” ，就一口氣算出十六位π的數字。」
第121頁：
「實際上，牛頓是在算別的東西，而π只不過是計算中碰巧出現的副產品。 “巨人丟的麵包屑都有石頭那麼大” 。」

ccjou says:

11/05/2013 at 1:02 pm

「他只花了四行，還謙稱是 “順便一提” ，就一口氣算出十六位π的數字。」這個說法有點誇張。

縱使迭代前一步驟的結果，我使用計算機算了6個項就放棄了。下面這段視頻解釋牛頓在發現二項式定理的過程中做了大量的計算和比對工作。

這一個視頻顯示牛頓使用內插法猜測二項式係數的手稿(全螢幕顯示較容易看清表格內容)。牛頓非常用功，現存的手稿顯示的都是寫滿密密麻麻的文字或算式。

Watt Lin says:

11/05/2013 at 1:20 pm

「他只花了四行，還謙稱是 “順便一提” ，就一口氣算出十六位π的數字。」這個說法有點誇張。
《π的故事》由外國書翻譯，書本結尾，列出的參考書目，全是外國書，中文版的譯者，翻譯已經很辛苦，大概沒時間去查閱比對參考資料。
我推測，或許牛頓在兩份以上的著作，描寫圓周率的計算，其中一份簡單描述，「只花了四行」。
——————————
另外，我由交通大學開放式課程當中，聽到林琦焜教授講的話，現代學生，看到古代的數學家流傳至今的方法，可能會以為那些數學家都是天才，簡短一兩頁就完成證明或計算，實際上，可能是累積許多年，反覆嘗試各種錯誤與失敗，那些算錯、證錯的紙張，不會流傳後世。
著名的數學式，可能是歷盡千辛萬苦得來的。
這項觀念，我很認同！

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