Tag Archives: 特徵向量

本文的閱讀等級：初級 令 為一個 階矩陣， 為特徵值， 為對應的特徵向量。本文證明這個重要的定理：對應相異特徵值的特徵向量組成一個線性獨立集。(其他證法見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”，“每週問題 June 11, 2012”，“利用 Vandermonde 矩陣證明相異特徵值對應線性獨立的特徵向量”。) 例如， 有特徵值 ，對應特徵向量 ，以及特徵值 (代數重數為 )，對應特徵向量 和 (幾何重數為 )。根據上述性質， 和 都是線性獨立集。

本文的閱讀等級：初級 話說麻省理工學院朗博教授為尋訪武林高手，特意在走廊黑板公布一道數學難題挑戰天下豪傑。果然此地臥虎藏龍，不知何方神聖匆匆留下正確解答，隨即消失無蹤 (見“電影《心靈捕手》的數學問題 (一)”)。這天朗博教授踏進教室，意外發現裡面擠滿了聞風而來的學生，大家都想探明這位神祕數學法師的真實身分。朗博教授用朗讀莎士比亞作品的語氣召喚法師摘下面具前來領獎： So without further adieu, come forward, silent rogue, and receive thy prize. 為了增添戲劇效果，現在還不是男主角威爾以數學大師之尊現身的時候。再說這個時機也不恰當，當下威爾因為打群架被抓進警察局。閒話休提，書歸正傳，本文要討論的問題是朗博教授身後黑板上的數學式。請先觀賞影片 (字幕見[1])。

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階矩陣。若 ，，滿足 ，我們稱 是 的一個特徵向量， 是對應的特徵值。淺白地說，特徵向量 經過矩陣 (線性變換) 映射得到的像 (image) 不改變方向，惟長度伸縮了 倍。尼采在《查拉圖斯特拉如是說》裡說： 知識的擁護者必須不僅愛他的敵人，同樣地也必須能夠恨他的朋友。假如你總是自認是一位學生，那麼你從一位老師所獲得的將是非常貧乏的。 尼采的意思是，學生應當審問慎思，才能分辨老師和課本說的話究竟是教條戒律還是客觀真理。在線性代數中，我們總是默認向量是行向量 (column vector)，故習以為常地在矩陣的右邊乘一行向量。倘若我們在矩陣的左邊乘一列向量 (row vector)，是否也可以平行發展出一套特徵向量與特徵值理論？雖然教科書鮮少提及，但矩陣左乘一列向量並不是一個毫無意義的幼稚想法，下面我們就來探討這個問題。

本文的閱讀等級：初級 《南嶽懷讓禪師傳》記載： 祖問：「甚麽處來？」 曰：「嵩山來。」 祖曰：「甚麽物，恁麽來？」師無語，經八載忽然有悟，乃白祖曰：「某甲有個會處。」 祖曰：「作麽生？」 師曰：「説似一物即不中。」 唐代懷讓禪師為尋訪善知識跑去嵩山謁見惠安國師，惠安指點他參訪曹溪六祖。禮拜畢，六祖問：「你從何處來？」懷讓回：「我從嵩山來。」六祖又問：「你是甚麼東西？怎麼來的？」懷讓當下無言以對，經過八年參究，一天豁然開悟，便對六祖說：「我想通了。」六祖問：「怎麼樣？」懷讓回：「說是甚麼東西都不對。」   特徵向量甚麽處來？問既一般，答亦相似，翻開課本就可以找到答案，定義有兩種版本。 線性變換版：令 為一個向量空間， 是一個線性變換。若非零向量 滿足 ，則 稱為對應特徵值 的特徵向量。 矩陣版：令 為一個 階矩陣。若非零向量 滿足 ，則 稱為對應特徵值 的特徵向量。 若繼續追問：特徵向量是甚麽物，恁麽來？「説似一物即不中」提點我們不要死執一法 (定義)，所以何妨「說似多物」，即便亂槍打鳥不中或許亦不遠矣。