矩陣乘法的現代觀點 (一)

本文的閱讀等級:初級

高中數學課本將矩陣乘積 AB 的定義建立於每個 (i,j) 元的計算式上,進入大學之後,如果仍緊抓住這個定義不放,對於理解線性代數反而是個阻礙。從比較現代的角度來看,矩陣乘法有許多個更富含意義的等價運算方式。

 
以元作為計算單元定義 AB

這是每個人都熟悉的高中數學定義。令 A=[a_{ij}] 為一 m\times n 階矩陣,B=[b_{ij}] 為一 n\times p 階矩陣。我們定義 AB(i,j) 元為 A 的第 i 列 (row)和 B 的第 j 行 (column) 之點積 (dot product),也稱為「列行法則」,如下:

(AB)_{ij}=\begin{bmatrix}  a_{i1}&\cdots&a_{in}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  b_{1j}\\  \vdots\\  b_{nj}  \end{bmatrix}=a_{i1}b_{1j}+\cdots +{a}_{in}{b}_{nj}

這個公式的主要用途是方便手算,缺點是不自然也不具啟發性,多數人學到這個定義的第一反應是無所適從,很難理解其意義。「列行法則」於理論上的應用時機是研究 \mathbb{R}^n 的子空間正交關係,利用此法則可以證明實矩陣 A 的零空間和列空間正交 (見“線性代數基本定理 (二)”)。

 
以行作為計算單元定義 Ax

這是最重要的一種觀點。考慮 A 的行向量表達式 A=\begin{bmatrix}  \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n  \end{bmatrix},令 \mathbf{x}=[x_j] 為一 n 維向量,我們定義 A\mathbf{x}A 的行向量 \mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n 的線性組合,\mathbf{x} 的對應元 x_1,\ldots,x_n 即為組合權重:

A\mathbf{x}=\begin{bmatrix}    \mathbf{a}_{1} & \cdots &\mathbf{a}_{n}    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    x_{1}\\    \vdots \\    x_{n}    \end{bmatrix}=\mathbf{a}_{1}x_{1}+\cdots +\mathbf{a}_{n}x_{n}

傳統的寫法習慣將純量擺在向量的左邊,也就是

\mathit{A}\mathbf{x}= x_{1}\mathbf{a}_{1} +\cdots + x_{n}\mathbf{a}_{n}

利用這個定義很容易解釋若齊次方程 A\mathbf{x}=\mathbf{0} 僅有平凡解 (即 \mathbf{x}=\mathbf{0}),則 A 有線性獨立的行向量,以及 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 是否一致與 \mathbf{b} 是否屬於 A 的行空間是同一回事。更重要的是,它可以清楚顯現映射 \mathbf{x}\to A\mathbf{x} 為一線性變換 (見“答季同學──關於矩陣乘法的運算方式”)。

 
以行作為計算單元定義 AB

很自然地,我們可以視 AB 為線性變換 AB 的合成。根據以行作為計算單元的定義,

\mathit{B}\mathbf{x}=x_1\mathbf{b}_1+\cdots +x_p\mathbf{b}_p

利用線性變換性質,

\begin{aligned}  A(\mathit{B}\mathbf{x})&=A(x_1\mathbf{b}_1+\cdots +x_p\mathbf{b}_p)=x_1(A\mathbf{b}_1)+\cdots+x_p(A\mathbf{b}_p)\\  &=\begin{bmatrix}  A\mathbf{b}_{1} & \cdots &A\mathbf{b}_{p}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  x_1\\  \vdots\\  x_p  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    A\mathbf{b}_{1} & \cdots &A\mathbf{b}_{p}    \end{bmatrix}\mathbf{x}.\end{aligned}

向量 A(B\mathbf{x}) 可視為連續兩次變換的結果:

\mathbf{x}\xrightarrow[]{~~B~~}B\mathbf{x}\xrightarrow[]{~~A~~}A(B\mathbf{x})

如果我們令 AB 代表上面這兩線性變換的淨效果:

\mathbf{x}\xrightarrow[]{~~AB~~}(AB)\mathbf{x}

則有

(AB)\mathbf{x}=\mathit{A}(B\mathbf{x})

上式給出以行作為計算單元定義矩陣乘積 AB 的方式:

AB=A\begin{bmatrix}    \mathbf{b}_{1} & \cdots &\mathbf{b}_{p}    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    A\mathbf{b}_{1} & \cdots &A\mathbf{b}_{p}    \end{bmatrix}

也就是說,AB 的第 j 行是 A\mathbf{b}_j,它是 A 的行向量之線性組合,\mathbf{b}_j 的對應元即為組合權重。以行當作矩陣乘法運算單元不僅具有提示性,亦可簡化運算推導。例如,欲證明分配律 A(B+C)=AB+AC,將 B+C 以行向量表達,利用線性變換性質,可得

\begin{aligned}  A(B+C)&=A\begin{bmatrix}  \mathbf{b}_1+\mathbf{c}_1&\cdots&\mathbf{b}_p+\mathbf{c}_p  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  A(\mathbf{b}_1+\mathbf{c}_1)&\cdots&A(\mathbf{b}_p+\mathbf{c}_p)  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  A\mathbf{b}_1+A\mathbf{c}_1&\cdots&A\mathbf{b}_p+A\mathbf{c}_p  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  A\mathbf{b}_1&\cdots&A\mathbf{b}_p  \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}  A\mathbf{c}_1&\cdots&A\mathbf{c}_p  \end{bmatrix}\\  &=AB+AC.\end{aligned}

另舉一例,因為 A\mathbf{b}_jA 的行向量的線性組合,AB 的行空間必定屬於 A 的行空間,隨之而來的重要結果是 \mathrm{rank}\mathit{AB}\leq \mathrm{rank}A

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4 則回應給 矩陣乘法的現代觀點 (一)

  1. suehang 說:

    该文和(二)对大陆学生而言,无异于是甘霖呀!

  2. yangcheng 說:

    老師您好,請問您網站的線性代數專欄是有進度的隨時間講解(比如最早的文章最基礎之後慢慢加深)還是一個重點就編寫一篇文章,沒有刻意編排進度?

    謝謝

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