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任一 階實矩陣 都可以被分解為
,
稱為極分解 (polar decomposition),其中 是實正交 (orthogonal) 矩陣, 是實對稱半正定 (positive semidefinite) 矩陣。若 是一個複矩陣,則 是么正 (unitary) 矩陣, 是 Hermitian (共軛對稱) 半正定矩陣。
極分解可由奇異值分解推導出 (見“奇異值分解 (SVD)”)。考慮實矩陣 的奇異值分解
。
因為 是一 階矩陣,, 和 全部都是 階,其中 和 是正交矩陣, 是對角矩陣且主對角元皆不為負。將 插入 SVD,
。
令 且 ,則 ,其中 是正交矩陣, 是對稱半正定矩陣。直接計算檢查:
。
因為 是對稱半正定,對於任一 ,就有
。
當 是可逆時, 的主對角元皆不為零,這時 是正定矩陣。
考慮極分解的行列式
,
其中 等於 或 ,因為 。若 是複矩陣,將以上轉置運算 替換成共軛轉置 ,則 是么正矩陣,滿足 ,且 是 Hermitian 半正定矩陣 (見“從實數系到複數系”)。半正定矩陣 的特徵值不為負 (見“半正定矩陣的判別方法”),故其行列式也不為負 (行列式是特徵值之積),可設 。另外,么正矩陣 的特徵值之絕對值等於 (見“特殊矩陣 (3):么正矩陣 (酉矩陣)”),故可設 ,其中 。所以,。類似複數 的極座標表達式
,
極分解 的半正定矩陣 對應 的絕對值 (或模) ,么正矩陣 對應 的幅角 (或相位) 。
我們也可以寫出反方向的極分解,如下:
。
上式中, 仍為原來的正交 (或么正) 矩陣,利用 ,可知
,
則 。
極分解的應用常見於連續介質力學 (continuum mechanics),它將「形變」 分解成「拉伸」和「旋轉」二部分,其中 表示拉伸, 表示旋轉。機器人學的運動學 (kinematics) 分析也使用極分解。令 表示機器手臂各軸微小轉動量所組成之軸座標空間向量, 表示手臂端點於卡氏空間的變動向量,Jacobian 為描述機器手臂各軸轉動率映射至手臂端點之卡氏空間速度的矩陣,此矩陣由軸位置決定故可表示為 ,就有
。
考慮手臂端點的變動量
。
機器手臂的靈活度 (manipulability) 由矩陣 決定。對於單位軸變動量, 愈大表示愈靈活,因此有研究者將機器手臂的靈活度定義為 Jacobian 矩陣 的行列式絕對值。下式為 的極分解 :
。
由於 ,且 ,所以 。靈活度其實就是 矩陣的特徵值乘積,也等於 Jacobian 矩陣 的奇異值乘積。對於二旋轉軸機器手臂,最大的靈活度發生於二臂夾角為 ,這也是人類最常使用的手臂工作狀態 (如圖左)。另一方面,當二臂完全伸長,這時 是不可逆的,故靈活度為 (如圖右)。
老师你好,请问一下’請參見“從實數域到複數域”。’紧接着的下一句的公式是怎么得到的?是后面的那些解释吗?这里有些不明白。。
重讀此文發現確實有幾處推論含糊不清。你現在讀到的是修訂後的版本,如果仍有疑問歡迎再提出來。
周老师,第四行有个小错误,”其中 Q 是么正矩阵”,应该是 U 吧
謝謝指正,我將 刪除了,這樣簡單些。
周老师,请问用newton迭代法如何计算polar decomposition呢?