極分解

Posted on 09/09/2009 by

本文的閱讀等級：中級

任一 n\times n 階實矩陣 A 都可以被分解為

A=QS，

稱為極分解 (polar decomposition)，其中 Q 是實正交 (orthogonal) 矩陣，S 是實對稱半正定 (positive semidefinite) 矩陣。若 A 是一個複矩陣，則 Q 是么正 (unitary) 矩陣，S 是 Hermitian (共軛對稱) 半正定矩陣。

 
極分解可由奇異值分解推導出 (見“奇異值分解 (SVD)”)。考慮實矩陣 A 的奇異值分解

A=U\Sigma V^T。

因為 A 是一 n\times n 階矩陣，U，V 和 \Sigma 全部都是 n\times n 階，其中 V 和 U 是正交矩陣，\Sigma 是對角矩陣且主對角元皆不為負。將 V^TV=I 插入 SVD，

A=U(V^TV)\Sigma V^T=(UV^T)(V\Sigma V^T)。

令 Q=UV^T 且 S=V\Sigma V^T，則 A=QS，其中 Q 是正交矩陣，S 是對稱半正定矩陣。直接計算檢查：

Q^TQ=(UV^T)^T(UV^T)=VU^TUV^T=VV^T=I。

因為 \Sigma 是對稱半正定，對於任一 \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n，就有

\mathbf{x}^TS\mathbf{x}=\mathbf{x}^TV\Sigma V^T\mathbf{x}=(V^T\mathbf{x})^T\Sigma(V^T\mathbf{x})\ge 0。

當 A 是可逆時，\Sigma 的主對角元皆不為零，這時 S 是正定矩陣。

 
考慮極分解的行列式

\det A=\det(QS)=(\det Q)(\det S)，

其中 \det Q 等於 1 或 -1，因為 (\det Q)^2=(\det Q^T)(\det Q)=\det(Q^TQ)=\det I=1。若 A 是複矩陣，將以上轉置運算 (\cdot)^T 替換成共軛轉置 (\cdot)^\ast，則 Q=UV^{\ast} 是么正矩陣，滿足 Q^\ast=Q^{-1}，且 S=V\Sigma V^{\ast} 是 Hermitian 半正定矩陣 (見“從實數系到複數系”)。半正定矩陣 S 的特徵值不為負 (見“半正定矩陣的判別方法”)，故其行列式也不為負 (行列式是特徵值之積)，可設 \det S=r\ge 0。另外，么正矩陣 Q 的特徵值之絕對值等於 1 (見“特殊矩陣 (3)：么正矩陣 (酉矩陣)”)，故可設 \det Q=e^{i\theta}，其中 i=\sqrt{-1}。所以，\det A=(\det S)(\det Q)=re^{i\theta}。類似複數 z 的極座標表達式

z=re^{i\theta}，

極分解 A=QS 的半正定矩陣 S 對應 z 的絕對值 (或模) r，么正矩陣 Q 對應 z 的幅角 (或相位) \theta。

 
我們也可以寫出反方向的極分解，如下：

A=S^{\prime}Q。

上式中，Q 仍為原來的正交 (或么正) 矩陣，利用 QS=S'Q，可知

S^{\prime}=QSQ^T=(UV^T)(V\Sigma V^T)(UV^T)^T=U\Sigma U^T，

則 \det S'=(\det Q)(\det S)(\det Q^T)=(\det S)(\det Q)^2=\det S。

 
極分解的應用常見於連續介質力學 (continuum mechanics)，它將「形變」 A 分解成「拉伸」和「旋轉」二部分，其中 S 表示拉伸，Q 表示旋轉。機器人學的運動學 (kinematics) 分析也使用極分解。令 \delta\mathbf{q} 表示機器手臂各軸微小轉動量所組成之軸座標空間向量，\delta\mathbf{x} 表示手臂端點於卡氏空間的變動向量，Jacobian 為描述機器手臂各軸轉動率映射至手臂端點之卡氏空間速度的矩陣，此矩陣由軸位置決定故可表示為 J(\mathbf{q})，就有

\delta\mathbf{x}=J(\mathbf{q})\delta\mathbf{q}。

考慮手臂端點的變動量

\Vert\delta\mathbf{x}\Vert^2=(J\delta\mathbf{q})^T(J\delta\mathbf{q})=\delta\mathbf{q}^T(J^TJ)\delta\mathbf{q}。

機器手臂的靈活度 (manipulability) 由矩陣 J^TJ 決定。對於單位軸變動量，\Vert\delta\mathbf{x}\Vert 愈大表示愈靈活，因此有研究者將機器手臂的靈活度定義為 Jacobian 矩陣 J 的行列式絕對值。下式為 J 的極分解 J=QS：

\mu=\vert\det J\vert=\vert\det Q\vert\cdot\vert\det S\vert。

由於 \vert\det Q\vert=1，且 \det S\ge 0，所以 \mu=\det S。靈活度其實就是 S 矩陣的特徵值乘積，也等於 Jacobian 矩陣 J 的奇異值乘積。對於二旋轉軸機器手臂，最大的靈活度發生於二臂夾角為 90^\circ，這也是人類最常使用的手臂工作狀態 (如圖左)。另一方面，當二臂完全伸長，這時 J 是不可逆的，故靈活度為 0 (如圖右)。

polar-decomposition

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4 Responses to 極分解

  1. chang 說道：
    03/03/2013 at 2:18 下午

    老师你好，请问一下’請參見“從實數域到複數域”。’紧接着的下一句的公式是怎么得到的？是后面的那些解释吗？这里有些不明白。。

    回應
    • ccjou 說道：
      03/03/2013 at 5:41 下午

      重讀此文發現確實有幾處推論含糊不清。你現在讀到的是修訂後的版本，如果仍有疑問歡迎再提出來。

      回應
  2. Yufeng Lyu (@LyuYufeng) 說道：
    08/03/2016 at 7:53 下午

    周老师，第四行有个小错误，"其中 Q 是么正矩阵"，应该是 U 吧

    回應

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