極分解

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任一 階實矩陣 都可以被分解為

，

稱為極分解 (polar decomposition)，其中 是實正交 (orthogonal) 矩陣， 是實對稱半正定 (positive semidefinite) 矩陣。若 是一個複矩陣，則 是么正 (unitary) 矩陣， 是 Hermitian (共軛對稱) 半正定矩陣。

 
極分解可由奇異值分解推導出 (見“奇異值分解 (SVD)”)。考慮實矩陣 的奇異值分解

。

因為 是一 階矩陣，， 和 全部都是 階，其中 和 是正交矩陣， 是對角矩陣且主對角元皆不為負。將 插入 SVD，

。

令 且 ，則 ，其中 是正交矩陣， 是對稱半正定矩陣。直接計算檢查：

。

因為 是對稱半正定，對於任一 ，就有

。

當 是可逆時， 的主對角元皆不為零，這時 是正定矩陣。

 
考慮極分解的行列式

，

其中 等於 或 ，因為 。若 是複矩陣，將以上轉置運算 替換成共軛轉置 ，則 是么正矩陣，滿足 ，且 是 Hermitian 半正定矩陣 (見“從實數系到複數系”)。半正定矩陣 的特徵值不為負 (見“半正定矩陣的判別方法”)，故其行列式也不為負 (行列式是特徵值之積)，可設 。另外，么正矩陣 的特徵值之絕對值等於 (見“特殊矩陣 (3)：么正矩陣 (酉矩陣)”)，故可設 ，其中 。所以，。類似複數 的極座標表達式

，

極分解 的半正定矩陣 對應 的絕對值 (或模) ，么正矩陣 對應 的幅角 (或相位) 。

 
我們也可以寫出反方向的極分解，如下：

。

上式中， 仍為原來的正交 (或么正) 矩陣，利用 ，可知

，

則 。

 
極分解的應用常見於連續介質力學 (continuum mechanics)，它將「形變」 分解成「拉伸」和「旋轉」二部分，其中 表示拉伸， 表示旋轉。機器人學的運動學 (kinematics) 分析也使用極分解。令 表示機器手臂各軸微小轉動量所組成之軸座標空間向量， 表示手臂端點於卡氏空間的變動向量，Jacobian 為描述機器手臂各軸轉動率映射至手臂端點之卡氏空間速度的矩陣，此矩陣由軸位置決定故可表示為 ，就有

。

考慮手臂端點的變動量

。

機器手臂的靈活度 (manipulability) 由矩陣 決定。對於單位軸變動量， 愈大表示愈靈活，因此有研究者將機器手臂的靈活度定義為 Jacobian 矩陣 的行列式絕對值。下式為 的極分解 ：

。

由於 ，且 ，所以 。靈活度其實就是 矩陣的特徵值乘積，也等於 Jacobian 矩陣 的奇異值乘積。對於二旋轉軸機器手臂，最大的靈活度發生於二臂夾角為 ，這也是人類最常使用的手臂工作狀態 (如圖左)。另一方面，當二臂完全伸長，這時 是不可逆的，故靈活度為 (如圖右)。

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