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令 為一個
階實或複矩陣。轉置矩陣
與
共享許多性質。因為任一
階矩陣的行秩等於列秩 (見“行秩=列秩”),即行空間的維數等於列空間的維數,立知
。再者,
與
有相同的行列式值,
(見“行列式的運算公式與性質”)。使用行列式性質,
與
有相同特徵多項式,
,故
與
有相同的特徵值 (見“每週問題 July 6, 2009”)。
兩個相似矩陣有相同的特徵值 (見“如何檢查兩矩陣是否相似”),既然 和
有相同的特徵值,我們不免懷疑
相似於
?換句話說,是否存在可逆矩陣
,滿足
?這個問題給人的第一印象似乎並不十分困難,但讀者可能翻遍基礎線性代數課本都找不到答案,原因是證明方法需要引用 Jordan 形式,而 Jordan 形式未必納入基礎線代教材裡。
對於任一 階矩陣
,存在一個可逆矩陣
使得
,
其中 稱為 Jordan 矩陣或 Jordan 典型形式,是由 Jordan 分塊構成的主對角分塊矩陣 (見“Jordan 典型形式淺說 (上)”),Jordan 分塊如下:
。
例如,
包含 3 個 Jordan 分塊:
。
我們的推理過程需要使用這個性質:任何一個 Jordan 分塊必定與其轉置相似。下面的 階矩陣乘法說明了只要將 Jordan 分塊的列與行逆向排序即可得到轉置分塊:
。
對於前面給出的 階 Jordan 矩陣
,我們可以設計分塊排列矩陣 (permutation matrix) 實現分塊轉置:
,
因此證明 Jordan 矩陣 相似於其轉置
。
剩下的推導步驟非常簡單。對於 階矩陣
,若
為 Jordan 典型形式,
相似於
,又知道
相似於
。再者,
,
可知 相似於
。相似是一種等價關係,故具備傳遞性,推論
相似於
。
反過來說,從 與
的相似關係也可以推論出文初提到的共同性質。因為
相似於
,
和
有相同的特徵值,
和
的行列式值也相等,因為行列式為特徵值的積。所有的相似變換矩陣都是可逆矩陣,所以
。
最後我補充一個快捷證明:任一 階矩陣
可表示為兩個對稱矩陣的積,
,其中
是可逆矩陣 (見“二對稱矩陣分解”)。寫出
,
故存在一個可逆對稱矩陣 使得
。
老師有個小小笨問題請你提點(羞)…
在「對於前面給出的5×5階J,我們設計分塊排列矩陣來實現分塊轉置……」那邊
[0 1 0 0 0;
1 0 0 0 0;
0 0 0 1 0;
0 0 1 0 0;
0 0 0 0 1]
這個排列矩陣是怎麼”看”出來的?還是”算”出來的?還是”刻意選”出來的?
是用肉眼看出來的!
既然每一個 Jordan 分塊可以透過




排列相似於其轉置,把握「直和」這個結構特性,Jordan 形式
也可以透過排列矩陣
使得
S存在性您已經證明了。但S的唯一性可以證明嗎?
相似變換矩陣S不具唯一性,譬如,B=SAS^{-1}=(2S)A(2S)^{-1}。
我今天也找到了一些反例,甚至不是這種倍數關係。
謝謝你的回覆。
有一个问题这几天困扰着我。向您请教一下,A的特征值、特征向量与A+A转置的特征值、特征向量的关系是怎么样的?尤其是特征向量,能数学表示出来吗?
忘记补充一点:这里的矩阵A是行列都均一话的,即每一行的和为0,每一列的和也为0。多谢。
打错了,每一行的和为1,每一列的和也为1。。。。。
若
階矩陣
的每一行和與列和都等於0,則
與
都有一個特徵值 0,對應特徵向量
,即
且
。譬如,Laplace 矩陣,見
https://ccjou.wordpress.com/2014/12/04/%E7%B7%9A%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B8%E5%9C%A8%E5%9C%96%E8%AB%96%E7%9A%84%E6%87%89%E7%94%A8-%E4%B8%89%EF%BC%9A%E6%8B%89%E6%99%AE%E6%8B%89%E6%96%AF%E7%9F%A9%E9%99%A3/
因此,
,
也有一個特徵值 0,對應特徵向量
。從已知的條件,我只能推得以上訊息。
請問該如何證明矩陣A與其轉置矩陣具有同樣的特性根與特性向量?
本文第一段末已證明
與
有相同的特徵多項式,因此有相同的特徵值。但特徵向量未必相同,隨便舉些例子計算即知。
老師好 那請問一下 ATA 會與 AAT相似嗎
畢竟特徵根相同 但又無法從At 相似於A這個定理推出