矩陣與其轉置的相似性

本文的閱讀等級:中級

A 為一個 n\times n 階實或複矩陣。轉置矩陣 A^TA 共享許多性質。因為任一 m\times n 階矩陣的行秩等於列秩 (見“行秩=列秩”),即行空間的維數等於列空間的維數,立知 \mathrm{rank}A^T=\mathrm{rank}A。再者,A^TA 有相同的行列式值,\det A^T=\det A (見“行列式的運算公式與性質”)。使用行列式性質,A^TA 有相同特徵多項式,\det(A^T-\lambda I)=\det(A-\lambda I)^T=\det(A-\lambda I),故 A^TA 有相同的特徵值 (見“每週問題 July 6, 2009”)。

 
兩個相似矩陣有相同的特徵值 (見“如何檢查兩矩陣是否相似”),既然 A^TA 有相同的特徵值,我們不免懷疑 A^T 相似於 A?換句話說,是否存在可逆矩陣 S,滿足 A^T=SAS^{-1}?這個問題給人的第一印象似乎並不十分困難,但讀者可能翻遍基礎線性代數課本都找不到答案,原因是證明方法需要引用 Jordan 形式,而 Jordan 形式未必納入基礎線代教材裡。

 
對於任一 n\times n 階矩陣 A,存在一個可逆矩陣 M 使得

J=M^{-1}AM

其中 J 稱為 Jordan 矩陣或 Jordan 典型形式,是由 Jordan 分塊構成的主對角分塊矩陣 (見“Jordan 典型形式淺說 (上)”),Jordan 分塊如下:

\begin{bmatrix}  \lambda&1& ~&~\\    ~&\ddots&\ddots&~\\    ~&~&\ddots&1\\    ~&~&~&~\lambda\end{bmatrix}

例如,

J=\begin{bmatrix}  8&1&0&0&0\\    0&8&0&0&0\\    0&0&3&1&0\\    0&0&0&3&0\\    0&0&0&0&3  \end{bmatrix}

包含 3 個 Jordan 分塊:

J_1=\begin{bmatrix}  8&1\\    0&8    \end{bmatrix},~J_2=\begin{bmatrix}    3&1\\    0&3    \end{bmatrix},~ J_3=\begin{bmatrix}    3\end{bmatrix}

 
我們的推理過程需要使用這個性質:任何一個 Jordan 分塊必定與其轉置相似。下面的 3\times3 階矩陣乘法說明了只要將 Jordan 分塊的列與行逆向排序即可得到轉置分塊:

\begin{bmatrix}  0&0&1\\    0&1&0\\    1&0&0    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    \lambda&1&0\\    0&\lambda&1\\    0&0&\lambda    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    0&0&1\\    0&1&0\\    1&0&0    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    \lambda&0&0\\    1&\lambda&0\\    0&1&\lambda    \end{bmatrix}

對於前面給出的 5\times 5 階 Jordan 矩陣 J,我們可以設計分塊排列矩陣 (permutation matrix) 實現分塊轉置:

\begin{bmatrix}  0&1&0&0&0\\    1&0&0&0&0\\    0&0&0&1&0\\    0&0&1&0&0\\    0&0&0&0&1    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    8&1&0&0&0\\    0&8&0&0&0\\    0&0&3&1&0\\    0&0&0&3&0\\    0&0&0&0&3    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    0&1&0&0&0\\    1&0&0&0&0\\    0&0&0&1&0\\    0&0&1&0&0\\    0&0&0&0&1    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    8&0&0&0&0\\    1&8&0&0&0\\    0&0&3&0&0\\    0&0&1&3&0\\    0&0&0&0&3    \end{bmatrix}

因此證明 Jordan 矩陣 J 相似於其轉置 J^T

 
剩下的推導步驟非常簡單。對於 n\times n 階矩陣 A,若 A=MJM^{-1} 為 Jordan 典型形式,A 相似於 J,又知道 J 相似於 J^T。再者,

A^T=(MJM^{-1})^T=(M^T)^{-1}J^TM^T

可知 J^T 相似於 A^T。相似是一種等價關係,故具備傳遞性,推論 A 相似於 A^T

 
反過來說,從 AA^T 的相似關係也可以推論出文初提到的共同性質。因為 A 相似於 A^TAA^T 有相同的特徵值,AA^T 的行列式值也相等,因為行列式為特徵值的積。所有的相似變換矩陣都是可逆矩陣,所以 \hbox{rank}A=\hbox{rank}A^T

 
最後我補充一個快捷證明:任一 n\times n 階矩陣 A 可表示為兩個對稱矩陣的積,A=BC,其中 B 是可逆矩陣 (見“二對稱矩陣分解”)。寫出

A^T=C^TB^T=CB=B^{-1}BCB=B^{-1}AB

故存在一個可逆對稱矩陣 B 使得 A^T=B^{-1}AB

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12 則回應給 矩陣與其轉置的相似性

  1. levinc 說道:

    老師有個小小笨問題請你提點(羞)…
    在「對於前面給出的5×5階J,我們設計分塊排列矩陣來實現分塊轉置……」那邊
    [0 1 0 0 0;
    1 0 0 0 0;
    0 0 0 1 0;
    0 0 1 0 0;
    0 0 0 0 1]
    這個排列矩陣是怎麼"看"出來的?還是"算"出來的?還是"刻意選"出來的? 

  2. ccjou 說道:

    是用肉眼看出來的!

    既然每一個 Jordan 分塊可以透過
    P=\begin{bmatrix} 0&\cdots&1\\ ~&\ddots&~\\ 1&\cdots&0 \end{bmatrix}
    排列相似於其轉置,把握「直和」這個結構特性,Jordan 形式
    J=J_1\oplus\cdots\oplus J_k
    也可以透過排列矩陣
    P=P_1\oplus\cdots\oplus P_k
    使得 J^T=PJP^{-1}=PJP^T=PJP

  3. Junjie Luo 說道:

    S存在性您已經證明了。但S的唯一性可以證明嗎?

  4. Jafree 說道:

    有一个问题这几天困扰着我。向您请教一下,A的特征值、特征向量与A+A转置的特征值、特征向量的关系是怎么样的?尤其是特征向量,能数学表示出来吗?

  5. 陳威璉 說道:

    請問該如何證明矩陣A與其轉置矩陣具有同樣的特性根與特性向量?

    • ccjou 說道:

      本文第一段末已證明 AA^T 有相同的特徵多項式,因此有相同的特徵值。但特徵向量未必相同,隨便舉些例子計算即知。

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