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令 
- 設特徵方程
，其中
是特徵值，
是對應的特徵向量。將特徵方程改寫為
，此式的意義是
的零空間
(稱為特徵空間) 包含非零向量，也就是說，
。
- 將
階行列式
展開，便得到一個
，稱為
的
(包含相重特徵值)。
- 對於每一個相異特徵值
底下舉一例說明矩陣的特徵值和特徵向量的「制式」算法。考慮
寫出特徵多項式
由此解出二根 
![\mathbf{x}_1=\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ -1 \end{array}\!\!\right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cmathbf%7Bx%7D_1%3D%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Br%7D++1%5C%5C++-1++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
![\mathbf{x}_2=\left[\!\!\begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array}\!\!\right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cmathbf%7Bx%7D_2%3D%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D++1%5C%5C++2++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
美國數學家波利亞 (George Polya) 說：「每一個問題的解答，都需要有某個『發現』才行。」這句話套用到下面的矩陣特徵值求解問題尤其貼切：
![A=\left[\!\!\begin{array}{rrrr} 1&-1&2&3\\ -1&1&3&2\\ 2&3&1&-1\\ 3&2&-1&1 \end{array}\!\!\right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=A%3D%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrrr%7D++1%26-1%262%263%5C%5C++-1%261%263%262%5C%5C++2%263%261%26-1%5C%5C++3%262%26-1%261++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
矩陣 
根據代數基本定理，
上面的分析過程給出了特徵值和特徵向量的「制式」計算方法：先解特徵值，後求特徵向量。但倘若我們已經知道 
考慮上三角矩陣
三角矩陣的主對角元就是特徵值，所以 
再看這個例子，
![B=\left[\!\!\begin{array}{rrr} 1&1&2\\ 2&2&4\\ -3&-3&-6 \end{array}\!\!\right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=B%3D%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7D++++1%261%262%5C%5C++++2%262%264%5C%5C++++-3%26-3%26-6++++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
觀察得知 
![\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ 1\\ -1 \end{array}\!\!\right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Br%7D++++1%5C%5C++++1%5C%5C++++-1++++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
![\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 0 \end{array}\!\!\right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Br%7D++++1%5C%5C++++-1%5C%5C++++0++++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
![\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ 2\\ -3 \end{array}\!\!\right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Br%7D++++1%5C%5C++++2%5C%5C++++-3++++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
![B=\left[\!\!\begin{array}{rrr} 1&1&2\\ 2&2&4\\ -3&-3&-6 \end{array}\!\!\right]=\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ 2\\ -3 \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} 1&1&2 \end{bmatrix}=\mathbf{x}\mathbf{y}^T](https://s0.wp.com/latex.php?latex=B%3D%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7D++1%261%262%5C%5C++2%262%264%5C%5C++-3%26-3%26-6++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Br%7D++1%5C%5C++2%5C%5C++-3++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D++1%261%262++%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cmathbf%7Bx%7D%5Cmathbf%7By%7D%5ET&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
利用矩陣乘法結合律，可得
其中 
上面使用了跡數循環不變性。對應特徵值 
類似的特徵向量解讀術還可以應用於下列形式矩陣：
其中 
上式中 
![\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 0\\ 0 \end{array}\!\!\right], \left[\!\!\begin{array}{r} 0\\ 1\\ -1\\ 0 \end{array}\!\!\right], \left[\!\!\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\\ -1 \end{array}\!\!\right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Br%7D++++1%5C%5C++++-1%5C%5C++++0%5C%5C++++0++++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D%2C+%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Br%7D++++0%5C%5C++++1%5C%5C++++-1%5C%5C++++0++++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D%2C+%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Br%7D++++0%5C%5C++++0%5C%5C++++1%5C%5C++++-1++++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
回到本文一開始給出的問題，我們將它以符號表示如下：
其中 
![\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ 1\\ -1\\ -1 \end{array}\!\!\right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Br%7D++++1%5C%5C++++1%5C%5C++++-1%5C%5C++++-1++++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
![\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 1\\ -1 \end{array}\!\!\right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Br%7D++++1%5C%5C++++-1%5C%5C++++1%5C%5C++++-1++++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
![\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ -1\\ -1\\ 1 \end{array}\!\!\right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Br%7D++++1%5C%5C++++-1%5C%5C++++-1%5C%5C++++1++++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
最後我們整理特徵向量肉眼判讀術的兩項關鍵技巧：(一) 先求得最明顯的特徵向量，然後算出對應的特徵值。(二) 運用矩陣的特別模式或屬性立下特徵值或特徵向量的條件及限制。在實際應用時，不應墨守成規，也不必拘泥小節，譬如先求特徵值抑或先找特徵向量。總之，基本道理不難，但要達到「運用之妙，存乎一心」的境界，惟有勤加練習一途。
線代啟示錄 
真的很巧妙！我很喜歡這樣的解答途徑。
不用蠻力計算，也不需要背誦法則，只要留意矩陣的相關特質即可迅速得到答案。
假如每個題目都採用制式方法作答，將會很疲倦，對數學失去興趣。
多學一些方法，頭腦會比較靈活。
美國有一位數學教授十幾年來上課時都教導學生一種不使用行列式的特徵值/特徵向量演算法（下回我再介紹給大家），有一位學生評論說：我知道這個方法比較快，但是使用行列式你就不需要去想。這個學生似乎一語道出癥結所在：凡事都花腦筋是很累人的。
老師，這個方法真的太令我歎為觀止了
我覺得坊間的補習班老師，都把線性代數解題過程SOP
導致要背誦的很多，反而少了思考的過程
背了一整年的解題過程，半衰期卻只有短短一個月
讀了後面忘了前面是司空見慣
懇求老師再多講講這種靠觀察找出特徵植的方法
確實還有其他方法，但不一定非常管用，改日再貼上。另外請參考以前介紹的一些特殊方法：
https://ccjou.wordpress.com/%E5%B0%88%E9%A1%8C%E6%8E%A2%E7%A9%B6/%E7%9F%A9%E9%99%A3%E7%9A%84%E7%89%B9%E5%BE%B5%E5%80%BC%E8%88%87%E7%89%B9%E5%BE%B5%E5%90%91%E9%87%8F/
不需要去想的事，交給電腦(或其他自動化設備)做，就行了！
給人做的事，能動腦思考，比較不會無聊。
機械式的動作，人做久了，可能會有職業倦怠，想要轉換工作。
肉眼判斷：我想到一件事，傅立葉級數的計算，使用sin與cos正交之性質，若畫出圖形，以sin(kx)表示高度，cos(nx)表示寬度，sin(kx)乘cos(nx)表示面積，由0到2Pi之間的積分，肉眼可見，每一片「正面積」可找到對應之「負面積」，抵消而等於0，而知總和為0，即是sin(kx)與cos(nx)正交。
另外，sin(kx)與sin(nx)，在k不等於n時，也是正交。cosine函數亦同。
我嘗試電腦作圖，sin(x)與sin(2x)相乘的函數，可輕鬆「看」到上下抵消，積分為0。
sin(x)與sin(4x)，或者sin(x)與sin(6x)，也可肉眼判斷，積分為0。
但是sin(x)與sin(3x)正交，我卻很難直接看出積分為0。
圖解法，是否真的遇到困難？
老師談傅立葉級數的文章系列，如果順便幫我們復習sin與cos正交之性質，配合直覺式一眼看出答案的圖解，將會使許多學生受益。
感謝您精心設計的教學，期待老師繼續發佈更多文章！
圖解和直覺可以幫助我們理解一些較為複雜的概念或關係，但並非處處可行，很多時候還是需要計算確認。因為遇到了困難，很多人便採用機械方式，雖保證得到答案，卻可能失去從多角度看待事物的能力。我在TED看過一個7天學會冰島語的人演講，他問64*75=?他用視覺化方法將64想成西洋棋盤的格子，分成4大塊，每塊16個格，75換成3/4*100，答案就等於16*3*100=4800。