矩陣的等價關係

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等價關係 (equivalence relation) 是兩個數學物件之間的一種特殊關係。將待檢查的同類型數學物件合成為一集合 S,定義 S 中任意兩元素 xy 之間的關係,令 R 代表此種二元關係。嚴格來說,我們可以將關係 R 視為從 S\times S 映至 \{0,1\} 的一個函數。對於任意元素對 (x,y),若 R(x,y)=1,則 xy 具有指定關係,若 R(x,y)=0,則兩者不存在此關係。下面我們用更精簡符號 xRy 來表示 R(x,y)=1。我們說 R 是一種等價關係,若它滿足下列三個條件:

  1. 反身性 (reflexive):對於任一 x\in SxRx
  2. 對稱性 (symmetric):若 xRy,則 yRx
  3. 傳遞性 (transitive):若 xRyyRz,則 xRz

根據等價關係 R,集合 S 可切割成互不相交的等價分類,每個等價分類中的元素彼此具有關係 R,但屬於不同等價分類的元素則不存在關係 R。特別要強調的是,每一種等價關係 R 都存在對應的變換方式,也就是說,若 xRy,則有一個運算程序可將 x 變換為 y

 
矩陣可以用來記錄線性方程組也可以表示線性變換。針對矩陣應用的不同需求,我們以某種運算或變換簡化矩陣,等價關係確保矩陣的一些重要性質不因所執行的運算而改變。另一方面,等價關係也可應用於矩陣的比較與分類。以下我整理出三種常見的矩陣等價關係:列等價 (row equivalence)、相似性 (similarity) 與相合性 (congruence)。

 
列等價

ABm\times n 階矩陣。若對 A 執行有限次數的基本列運算 (elementary row operation,中國大陸稱初等行變換) 得到 B,則稱 A 列等價於 B,記為 A\sim B。對應列等價的變換程序就是基本列運算,左乘 A 任一基本矩陣 E 仍保有列等價關係,故 A\sim EA。因為任一可逆矩陣都可分解為基本矩陣的積 (見“特殊矩陣(10):基本矩陣”),基本矩陣又為可逆矩陣,所以若存在一個 m\times m 階可逆矩陣 M 使得 A=MB,必定 A\sim B,反之亦然。利用這個性質很容易驗證列等價滿足等價關係三條件:

  1. 反身性:因為 A=I_mAA 列等價於 A
  2. 對稱性:若 A=MBM 可逆,左乘 M^{-1} 立得 B=M^{-1}A
  3. 傳遞性:若 A=MBB=NCMN 皆可逆,則 A=MB=(MN)C,其中 MN 可逆。

 
基本列運算對矩陣執行了列交換、列伸縮與列取代等線性組合,可知在基本列運算下的不變性質包括矩陣秩、列空間與零空間 (見“答Louie──關於列等價矩陣家族的DNA”)。若 A\sim B,則 A\mathbf{x}=\mathbf{0}B\mathbf{x}=\mathbf{0} 有相同的解。從這個角度考量,我們選擇讓唯一存在的簡約列梯形式 (reduced row echelon form) R 作為列等價家族的代表 (見“簡約列梯形式的唯一性”),此列等價家族成員包括所有 A=MR,其中 M 為任意的 m\times m 階可逆矩陣。反過來說,簡約列梯形式也提供了一個鑑定兩個矩陣是否列等價的方法:若 AB 有相同的簡約列梯形式,則 A\sim B,否則 AB 不具有列等價關係。上面的討論說明 n\times n 階可逆矩陣家族的代表即為單位矩陣 I_n。類似列等價,我們也可以定義行等價,這個工作留給讀者當作練習。

 
相似性

ABn\times n 階矩陣,若存在 n\times n 階可逆矩陣 M 使得 A=M^{-1}BM,我們稱 A 相似於 B,並稱 M^{-1}BMB 的相似變換。相似關係是一種矩陣間的等價關係,它滿足

  1. 反身性:因為 A=I^{-1}AIA 與其自身相似。
  2. 對稱性:若 A=M^{-1}BM,立刻有 B=MAM^{-1}
  3. 傳遞性:若 A=M^{-1}BMB=N^{-1}CN,則 A=M^{-1}(N^{-1}CN)M=(NM)^{-1}C(NM)

 
相似變換下的不變性質包括矩陣秩、特徵多項式、最小多項式、特徵值、跡數、行列式,以及 Jordan 典型形式 (見“相似變換下的不變性”)。給定一個 n\times n 階矩陣 A,令 J 為其 Jordan 形式,若不考慮 J 的主對角元 (即特徵值) 排序,Jordan 形式 J 唯一存在 (見“Jordan 形式大解讀(下)”),故 Jordan 形式是相似家族的當然代表,此相似家族成員包括 A=MJM^{-1}M 為任何 n 階可逆矩陣。Jordan 形式也可用於檢驗兩矩陣是否相似:若 AB 有相同的 Jordan 矩陣,則 A 相似於 B,否則 A 不相似於 B

 
相合性

ABn\times n 階 Hermitian 矩陣,若存在 n\times n 階可逆矩陣 S 使得 A=S^{\ast}BS,我們稱 A 相合於 B,而 S^{\ast}BS 則稱為相合變換。不難證明相合關係也是等價關係:

  1. 反身性:因為 A=I^{\ast}AIA 與其自身相合。
  2. 對稱性:若 A=S^{\ast}BSS 可逆,即有 B=(S^{-1})^{\ast}AS^{-1}
  3. 傳遞性:若 A=S^{\ast}BSB=T^{\ast}CT,則 A=S^{\ast}(T^{\ast}CT)S=(TS)^{\ast}C(TS),其中 TS 可逆。

 
在相合變換下,矩陣秩和慣性保持不變 (見“相合變換”)。設 A 為一個 n\times n 階 Hermitian 矩陣,A 的特徵值皆為實數,我們定義 A 的慣性為其正特徵值總數 i_p(A)、負特徵值總數 i_n(A) 和零特徵值總數 i_0(A),表示為

i(A)=(i_p(A),i_n(A),i_0(A))

方陣 A 的慣性矩陣即由慣性決定,

I(A)=\mathrm{diag}(1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0)

其中 I(A)i_p(A) 個主對角元 1i_n(A) 個主對角元 -1i_0(A) 個主對角元 0。明顯地,任何 Hermitian 矩陣都有唯一的慣性矩陣,Sylvester 慣性定理指出若 Hermitian 矩陣 A 相合於 B,則 AB 有相同的慣性矩陣,故慣性矩陣是相合家族的代表矩陣。反過來說,若 Hermitian 矩陣 AB 有相同的慣性矩陣,則 A 相合於 B,否則 AB 不相合。

 
最後,我們整理出上述三種等價關係的不變性。

  • 列等價:秩、列空間、零空間、簡約列梯形式;
  • 相似性:秩、特徵多項式、最小多項式、特徵值、跡數、行列式、Jordan 典型形式;
  • 相合性:秩、慣性。
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