矩陣的等價關係

Posted on 04/26/2011 by ccjou

本文的閱讀等級：中級

等價關係 (equivalence relation) 是兩個數學物件之間的一種特殊關係。將所有待檢查的同類型數學物件合成為一集合 S，定義 S 中任意兩元素 x 和 y 之間的關係，並令 R 代表此種二元關係。我們可以將二元關係 R 視為從 S\times S 映至 \{0,1\} 的一個函數。對於任意元素對 (x,y)，若 R(x,y)=1，則 x 和 y 具有該指定關係；若 R(x,y)=0，則 x 和 y 不存在此關係。以下使用更精簡的符號 xRy 來表示 R(x,y)=1。我們稱 R 是一種等價關係，如果它滿足下列三個條件：

  1. 反身性 (reflexive)：對於任一 x\in S，xRx；
  2. 對稱性 (symmetric)：若 xRy，則 yRx；
  3. 傳遞性 (transitive)：若 xRy 且 yRz，則 xRz。

根據等價關係 R，集合 S 可切割成互不相交的等價分類，每個等價分類中的元素彼此具有關係 R，但屬於不同等價分類的元素則不存在關係 R。這裡特別要強調：每一種等價關係 R 都存在對應的變換方式，也就是說，若 xRy，則有一個運算程序可將 x 變換為 y。

 
矩陣可用來記錄線性方程組也可以表示線性變換。針對矩陣應用的不同需求，我們以某種運算或變換簡化矩陣，等價關係確保矩陣的一些重要性質不因所執行的運算而改變。另一方面，等價關係也可應用於矩陣的比較與分類。本文介紹三種常見的矩陣等價關係：列等價 (row equivalence)、相似性 (similarity) 與相合性 (congruence)。

 
列等價

設 A 和 B 為 m\times n 階矩陣。如果對 A 執行有限次數的基本列運算 (elementary row operation) 得到 B，則稱 A 列等價於 B，記為 A\sim B。對應列等價的變換程序就是基本列運算，左乘 A 任一個 m\times m 階基本矩陣 E 仍保有列等價關係，故 A\sim EA。因為每一個可逆矩陣都可分解為基本矩陣的積 (見“特殊矩陣(10)：基本矩陣”)，若存在一個 m\times m 階可逆矩陣 M 使得 A=MB，推知 A\sim B；相反方向的論述同樣成立。利用這個性質很容易驗證列等價滿足等價關係三條件：

  1. 反身性：因為 A=I_mA，A 列等價於 A。
  2. 對稱性：若 A=MB 且 M 是可逆的，左乘 M^{-1} 立得 B=M^{-1}A。
  3. 傳遞性：若 A=MB，B=NC，且 M 和 N 都是可逆的，則 A=MB=(MN)C，其中 MN 是可逆的。

 
基本列運算對矩陣執行了列交換、列伸縮與列取代等線性組合，可知在基本列運算下的不變性質包括矩陣秩、列空間與零空間 (見“答Louie──關於列等價矩陣家族的DNA”)。若 A\sim B，則 A\mathbf{x}=\mathbf{0} 和 B\mathbf{x}=\mathbf{0} 有相同的解。從這個角度考量，我們選擇讓唯一存在的簡約列梯形式 (reduced row echelon form) R 作為列等價家族的代表 (見“簡約列梯形式的唯一性”)，此列等價家族成員包括所有 A=MR，其中 M 為任意的 m\times m 階可逆矩陣。反過來說，簡約列梯形式也提供了一個鑑定兩個矩陣是否列等價的方法：若 A 和 B 有相同的簡約列梯形式，則 A\sim B，否則 A 和 B 不具有列等價關係。上面的討論說明 n\times n 階可逆矩陣家族的代表即為單位矩陣 I_n。類似列等價，我們也可以定義行等價 (column equivalence)，這個工作就留給讀者當作練習。

 
相似性

設 A 和 B 為 n\times n 階矩陣。若存在 n\times n 階可逆矩陣 M 使得 A=M^{-1}BM，我們稱 A 相似於 B，並稱 M^{-1}BM 為 B 的相似變換。相似關係是一種矩陣間的等價關係，它滿足

  1. 反身性：因為 A=I^{-1}AI，A 與其自身相似。
  2. 對稱性：若 A=M^{-1}BM，立刻有 B=MAM^{-1}。
  3. 傳遞性：若 A=M^{-1}BM，B=N^{-1}CN，則 A=M^{-1}(N^{-1}CN)M=(NM)^{-1}C(NM)。

 
相似變換下的不變性質包括矩陣秩、特徵多項式、最小多項式、特徵值、跡數、行列式，以及 Jordan 典型形式 (見“相似變換下的不變性”)。給定一個 n\times n 階矩陣 A，令 J 為其 Jordan 形式，若不考慮 J 的主對角元 (即特徵值) 排序，Jordan 形式 J 唯一存在 (見“Jordan 形式大解讀(下)”)，故 Jordan 形式是相似家族的當然代表，此相似家族成員包括 A=MJM^{-1}，M 為任何 n 階可逆矩陣。Jordan 形式也可用於檢驗兩矩陣是否相似：若 A 和 B 有相同的 Jordan 矩陣，則 A 相似於 B，否則 A 不相似於 B。

 
相合性

設 A 和 B 為 n\times n 階 Hermitian 矩陣。若存在 n\times n 階可逆矩陣 S 使得 A=S^{\ast}BS，我們稱 A 相合於 B，而 S^{\ast}BS 則稱為相合變換。不難證明相合關係也是等價關係：

  1. 反身性：因為 A=I^{\ast}AI，A 與其自身相合。
  2. 對稱性：若 A=S^{\ast}BS，S 可逆，即有 B=(S^{-1})^{\ast}AS^{-1}。
  3. 傳遞性：若 A=S^{\ast}BS，B=T^{\ast}CT，則 A=S^{\ast}(T^{\ast}CT)S=(TS)^{\ast}C(TS)，其中 TS 可逆。

 
在相合變換下，矩陣秩和慣性保持不變 (見“相合變換”)。設 A 為一個 n\times n 階 Hermitian 矩陣，A 的特徵值皆為實數，我們定義 A 的慣性為其正特徵值總數 i_p(A)、負特徵值總數 i_n(A) 和零特徵值總數 i_0(A)，表示為

i(A)=(i_p(A),i_n(A),i_0(A))

方陣 A 的慣性矩陣即由慣性決定，

I(A)=\mathrm{diag}(1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0)

其中 I(A) 有 i_p(A) 個主對角元 1，i_n(A) 個主對角元 -1 和 i_0(A) 個主對角元 0。明顯地，任何 Hermitian 矩陣都有唯一的慣性矩陣，Sylvester 慣性定理指出若 Hermitian 矩陣 A 相合於 B，則 A 和 B 有相同的慣性矩陣，故慣性矩陣是相合家族的代表矩陣。反過來說，若 Hermitian 矩陣 A 和 B 有相同的慣性矩陣，則 A 相合於 B，否則 A 和 B 不相合。

 
最後，我們整理出上述三種等價關係的不變性。

  • 列等價：秩、列空間、零空間、簡約列梯形式；
  • 相似性：秩、特徵多項式、最小多項式、特徵值、跡數、行列式、Jordan 典型形式；
  • 相合性：秩、慣性。
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