## 歐拉恆等式──最優美的數學定理

$e^{i\pi}+1=0$

$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$

$\displaystyle e^{i\theta}=1+i\theta+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+\cdots$

$\displaystyle e^{x}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$

$\displaystyle 1,\left(1+\frac{i\theta}{n}\right), \left(1+\frac{i\theta}{n}\right)^2,\ldots,\left(1+\frac{i\theta}{n}\right)^n,\ldots$

$n\to\infty$$\left(1+\frac{i\theta}{n}\right)^n$ 趨於 $e^{i\theta}$。見圖二，當 $n\to\infty$$\left(1+\frac{i\theta}{n}\right)$ 的角度和長度分別為

$\displaystyle \measuredangle \left(1+\frac{i\theta}{n}\right)=\frac{\theta}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$

$\displaystyle \left\vert 1+\frac{i\theta}{n}\right\vert=1+o\left(\frac{1}{n}\right)$

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}n\measuredangle \left(1+\frac{i\theta}{n}\right)=\theta$

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left\vert1+\frac{i\theta}{n}\right\vert^n=1$

$e^{i\theta}=r(\cos\phi+i\sin\phi)$

$\displaystyle ie^{i\theta}=(\cos\phi+i\sin\phi)\frac{dr}{d\theta}+r(-\sin\phi+i\cos\phi)\frac{d\phi}{d\theta}$

$r(\cos\phi+i\sin\phi)$ 代回等號左邊 $e^{i\theta}$

$\displaystyle -r\sin\phi+ir\cos\phi=\left(\cos\phi\frac{dr}{d\theta}-r\sin\phi\frac{d\phi}{d\theta}\right)+i\left(\sin\phi\frac{dr}{d\theta}+r\cos\phi\frac{d\phi}{d\theta}\right)$

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Euler’s_identity
[2] 維基大典的歐拉生平介紹
[3] Gilbert Strang, Linear Algebra and its Applications, third edition, Harcourt Brace Jovanovich, pp 185, 1988. 原文如下：“I remember the day when a letter came to MIT from a prisoner in New York, asking if Euler’s formula was true. It is really astonishing, when you think of it, that three of the key functions of mathematics should come together in such a graceful way. Our best answer was to look at the power series $e^{i\theta}=1+i\theta+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+\cdots$. The real part $1-\theta^2/2+\cdots$ is the cosine. The imaginary part $\theta-\theta^3/6+\cdots$ is the sine. The formula is correct, and I wish we had sent a more beautiful proof.”
[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula
[5] 原文是 “Gentlemen, that is surely true, it is absolutely paradoxical; we cannot understand it, and we don’t know what it means. But we have proved it, and therefore we know it must be the truth.”

### 10 Responses to 歐拉恆等式──最優美的數學定理

1. Watt Lin 說道：

以前在一本書上，看到簡潔之證明：
$dz = \imath z d\theta$
$\frac{dz}{z} = i d\theta$
$\int \frac{dz}{z} = \int i d\theta$
$ln z = i \theta + c$
$z = z_{0} e^{i\theta} = z_{0} (cos \theta + \imath sin \theta)$

在書上，$(cos \theta + \imath sin \theta)$ 以高斯平面坐標繪圖表示，而前面的微分方程，推演出圓周旋轉的 $e^{i\theta}$

這種證明過程，也是很有趣！

• ccjou 說道：

書上說一開始 $z$$\theta$ 的關係為何？是不是 $z=\cos\theta+i\sin\theta$？假設是這樣，就有 $dz/d\theta=-\sin\theta+i\cos\theta=iz$，最後一個步驟取自然指數得到 $z=e^{i\theta+c}=\cos\theta+i\sin\theta$，接著必須證明 $c=0$。有人可能以為令 $\theta=0$$e^{c}=1$，故 $c=0$。但這離結果還有一段距離，因為 $c$ 是複數，$e^{c}=1$ 並不僅有唯一解 $c=0$。事實上，歐拉公式告訴我們 $e^{c}=1$ 的解包括 $c=2k\pi$$k\in\mathbb{Z}$。歐拉公式的證明重點在於釐清 exp, sin, cos 的定義，特別是在複數域的定義。

說到微分方程，還有一個快捷證法。考慮 $y^{\prime}=iy$$y(0)=1$。不難確認 $e^{i\theta}$$\cos\theta+i\sin\theta$ 都為其解，唯一定理說明兩者相等。

• Watt Lin 說道：

大約民國77年，我在台北重慶南路逛書店，無意中翻閱一本書，看到歐拉公式以解微分方程，得到證明。
那本書我沒買，經過二十多年，腦子裡還有一些印象。
而書中一開始z和 $\theta$ 的關係為何？我不記得。
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歐拉公式，真的讓我感覺很有趣，曾經用很多時間，想要探求其中奧妙，但我不是唸理工科系，所以只有學到一小部分。
最初是在民國73年，我高中一年級，因為參加電腦研習社，而認識高二學長王才沛，有一天他說：「世界上最優美的數學式就是$e^{i \pi } +1=0$。」
我未能立刻視之為明顯事實，思索好幾個月，皆不懂這條數學式。
等我升上高二，由cos及sin的泰勒展開式，聯想、推敲，得到歐拉公式的證明，心裡很高興。
高三微積分課程，老師有教cos及sin的泰勒展開式，我高二是在電腦程式設計的書看到泰勒展開式。
高中畢業，去台北補習，準備重考大學，星期日沒課，逛書店看到不同方式證明歐拉公式，真的印象深刻！

• Watt Lin 說道：

印象中，那本書上，以圖形表示，畫個圓，圓上有一小段弧，弧之切線 $dz$
$dz$ 的長度，是半徑 $r$ 乘以 $d\theta$
$dz$ 的方向，是由 $z$ 左旋90度，所以要乘上 $\imath$
因此 $dz = \imath zd\theta$

• ccjou 說道：

真佩服你的記憶力！說來慚愧，我完全想不起來第一次聽聞歐拉公式是甚麼時候，大一微積分？大二複變？這說明當時我對這個史上最優美的數學定理……無感。

高斯的評論是精準的。

2. chenlogy 說道：

雖然 Euler 是偉大的數學家 但面對有關"人"方面的問題就束手無策,只能興嘆"人比數學更複雜"!

3. CTC 說道：

一直覺得尤拉公式的證明有一個很神奇的地方
在我們還不知道複數的極限,微分,積分,泰勒展開是否完全遵照實數規則走的時候
我們就把它套用上去了
甚至我們是用這條公式去對虛數指數函數進行定義
學習複變函數的時候,也是直接用尤拉公式往下推演
這也許是我讀的是工程數學的複變函數而並非是數學系正統複變函數論的原因
所以我一直在懷疑這最基本的基石究竟合不合理?
我在處理這些部分的時候,是直接將尤拉公式當成定理用背的

4. lokidda 說道：

latex \sum \limits{a + b + c = n} \frac{n!}{a! b! c!} x^a y^b z^c\$

5. suehang 說道：

i是常数,但不属于R,因此,对等号两边使用全微分公式(人类在未发明i时,该公式对实数成立)时,di如何处理,它一定=0?