《九章算術》的方程術

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《九章算術》是中國最古老的數學典籍之一，成書約於公元前100年，匯集了周朝以來的古代數學知識^[1]。全書以問題集形式編纂，共收錄246個問題；在一個或數個問題之後，列出解答與對應解法，但沒有證明。這些問題按性質與解法分為九大類：方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股。今天我們使用的「方程」一詞即源自卷八章名。方程章專門討論線性方程組，共計18題，其中第一個問題給出完整的解法，稱為「方程術」，抄錄於下^[2]：

方程：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？

答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一，中禾一秉，四斗、四分斗之一，下禾一秉，二斗、四分斗之三。

術曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。餘如中禾秉數而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。餘如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。

 
今有上等稻3捆、中等稻2捆、下等稻1捆，共打出39斗米；有上等稻2捆、中等稻3捆、下等稻1捆，共打出34斗米；有上等稻1捆、中等稻2捆、下等稻3捆，共打出26斗米。問上等稻、中等稻、下等稻各1捆能打出多少斗米？使用現代人孰悉的代數語言，令 分別代表上等稻、中等稻和下等稻各1捆所能打出的稻米斗數，根據題意寫出三元一次聯立方程組：

 
兩千年前的中國數學家如何解決這個問題？方程術包含三個技巧：

1. 利用分離係數法，以相當於矩陣的陣列形式來表示線性方程組；
2. 以「直除法」消元得到梯形陣列；
3. 持續消元直到產生對角陣列。

古人的書寫方式係由上而下、從右至左，故方程術訂定的係數排列規則為「置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。中、左禾列如右方」，如下所示：

左行 中行 右行

寫出陣列表達即可開始消元化簡。首先，「以右行上禾 (即軸元 ) 遍乘中行而以直除」。注意這裡的「除」是減，「直除」意指將中行連續減去右行，直到中行上禾為零。因為中行上禾是 ，故通乘軸元 之後的中行必須減去2次右行，過程如下：

方程術所謂的直除法即為高斯消去法的基本列運算 (elementary row operation)，兩者的主要差異在於直除法先令中行乘以 才消元。只要所有的係數為整數，「先乘後減」即可避免中間過程產生分數，這不啻是直除法的一個優點 (相關討論見“利用行列式計算矩陣秩”)。接著，「又乘其次 (即左行)，亦以直除」。按照同樣方式消去左行上禾，令左行通乘以軸元 ，再減去右行，如下：

消去中行上禾與左行上禾後，方程術說：「然以中行中禾不盡者 (即軸元 ) 遍乘左行而以直除。」將左行通乘以 ，並四度減去中行 (因為左行中禾是 )，也就是減去中行通乘以 的運算結果，如下：

至此我們得到一個等價的梯形係數陣列，對應的線性方程組為

 
進入下一個階段，方程術說：「左方下禾不盡者 (即軸元 )，上為法 (即 )，下為實 (即 )。實即下禾之實。」這個步驟只是命名而已，沒有發生實際運算，但我們不妨對上法下實約分：

接著，「求中禾，以法 (軸元 ) 乘中行下實，而除下禾之實 (即 )」。運用直除法，令中行通乘以 ，再減去左行，即得

上面最後一個步驟就是「餘如中禾秉數而一 (約去 )，即中禾之實 (即 )」。 再來，「求上禾亦以法 (即軸元 ) 乘右行下實，而除下禾、中禾之實。餘如上禾秉數而一，即上禾之實」。按同樣方式，右行通乘以 ，連續減去左行與中行，直至右行的下禾與中禾為零，然後再約分，如下：

對應的方程組為 ，，。最後，「實皆如法」，將上、中、下實除以法 (三者同有軸元 )，即得到答案，末句「各得一斗」是指用一斗為度量單位。

 
《九章算術》的方程術是數學史上最早出現的線性方程組解法，這確實是一個偉大的成就。我們在歌頌前人同時，或許也應思考一個問題：方程術已見許多重要的代數運算技巧，為甚麼後人站在巨人的肩膀上卻未能開創一套線性方程理論呢？

 
註解
[1] 來源：維基百科：九章算術
[2] 來源：九章算術電子書